Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

3.1 Épreuve de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire qui n'a que deux issues : l'une est appelée succès, notée $S$, l'autre échec, notée $\overline{S}$. On note $p = P(S)$ ; alors $P(\overline{S}) = 1 - p$. Le nombre $p$ est le paramètre de l'épreuve.

Exemples. Lancer une pièce équilibrée, succès « pile » : $p = \frac12$. Lancer un dé équilibré, succès « obtenir $6$ » : $p = \frac16$ (l'échec regroupe les cinq autres faces). Maëlle, joueuse de basket, tire un lancer franc, succès « le panier est marqué » : $p = 0{,}8$.

3.2 Loi de Bernoulli

Définition. On associe à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Sa loi est

On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Espérance et variance (formules de Première).

• $E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ ;
• $V(X) = (0 - p)^2(1 - p) + (1 - p)^2\,p = p(1 - p)\big(p + (1 - p)\big) = p(1 - p)$, donc $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$.

Exemple 6. Pour un lancer franc de Maëlle, $p = 0{,}8$ : $E(X) = 0{,}8$ et $V(X) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16$, donc $\sigma(X) = 0{,}4$.

3.3 Schéma de Bernoulli

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même paramètre $p$) et indépendantes.

• Une issue est une liste de $n$ résultats, que l'on code par des $1$ (succès) et des $0$ (échec) : l'univers est $\{0\,;1\}^n$, qui a $2^n$ éléments (chapitre 6).
• D'après le modèle de la leçon 2, une issue qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n-k}$.
• Les issues ne sont donc pas équiprobables, sauf si $p = \frac12$ : chacune a alors la probabilité $\frac{1}{2^n}$.

Exemple 7. Maëlle tire trois lancers francs, de façon indépendante : c'est un schéma de Bernoulli de paramètres $3$ et $0{,}8$. L'arbre a $8$ chemins. $P(SSS) = 0{,}8^3 = 0{,}512$ ; $P(S\overline{S}S) = 0{,}8 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}128$ ; $P(\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}) = 0{,}2^3 = 0{,}008$. Trois issues ont la probabilité $0{,}128$ (deux succès) et trois ont la probabilité $0{,}032$ (un succès).

3.4 Un peu d'histoire

La parution de l'Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli, en 1713, qui reprend notamment d'anciens travaux de Huygens, marque une rupture dans l'histoire des probabilités. On y trouve la première étude de la loi du nombre de succès, appelée aujourd'hui loi binomiale, et un résultat majeur, la loi des grands nombres, que l'on retrouvera au chapitre 16.