Équations et inéquations

3.1 Sens de variation et comparaison

Propriété. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Démonstration. Soient $0 < a < b$. Si l'on avait $\ln a \geq \ln b$, la croissance de l'exponentielle donnerait $a = \mathrm{e}^{\ln a} \geq \mathrm{e}^{\ln b} = b$, ce qui est faux. Donc $\ln a < \ln b$.

Conséquences. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b \qquad\text{et}\qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$ On les utilise avec celles de l'exponentielle, vraies pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$.

3.2 Signe du logarithme

Comme $\ln 1 = 0$ et que $\ln$ est strictement croissante :

• $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$ ;
• $\ln x = 0 \iff x = 1$ ;
• $\ln x > 0 \iff x > 1$.

Par exemple, $\ln 0{,}5 < 0$ et $\ln 3 > 0$.

3.3 La méthode

1. Chercher où l'équation a un sens : tout ce qui est dans un logarithme doit être strictement positif.
2. Transformer l'équation, avec les règles de la leçon 2, pour comparer deux logarithmes ou deux exponentielles. Un réel $k$ s'écrit $k = \ln\left(\mathrm{e}^k\right)$, et un réel $k > 0$ s'écrit $k = \mathrm{e}^{\ln k}$.
3. Résoudre avec les équivalences de 3.1.
4. Garder seulement les solutions qui sont dans l'ensemble trouvé à l'étape 1.

Les équivalences les plus utilisées : pour tout réel $k$, $\ln x = k \iff x = \mathrm{e}^k$ et $\ln x < k \iff 0 < x < \mathrm{e}^k$ ; pour tout réel $k > 0$, $\mathrm{e}^x = k \iff x = \ln k$ et $\mathrm{e}^x < k \iff x < \ln k$.

3.4 Équations

Exemple 9. Résoudre $\ln x + \ln(x - 3) = \ln 10$.

1. Il faut $x > 0$ et $x - 3 > 0$, c'est-à-dire $x > 3$.
2. Pour $x > 3$ : $\ln\big(x(x - 3)\big) = \ln 10$.
3. Donc $x^2 - 3x = 10$, soit $x^2 - 3x - 10 = 0$, c'est-à-dire $(x - 5)(x + 2) = 0$ : $x = 5$ ou $x = -2$.
4. Seul $5$ est strictement supérieur à $3$. $\mathcal{S} = \{5\}$. Vérification : $\ln 5 + \ln 2 = \ln 10$.

Exemple 10. Résoudre $\mathrm{e}^{2x - 1} = 7$. Comme $7 > 0$ : $2x - 1 = \ln 7$, donc $x = \dfrac{1 + \ln 7}{2} \approx 1{,}473$.

Exemple 11. Résoudre $\ln(2x + 1) = 3$. Il faut $2x + 1 > 0$, soit $x > -\frac12$. Alors $2x + 1 = \mathrm{e}^3$, donc $x = \dfrac{\mathrm{e}^3 - 1}{2} \approx 9{,}543$, qui vérifie bien $x > -\frac12$.

3.5 Inéquations

Exemple 12. Résoudre $\ln(3 - x) \geq 1$. Il faut $3 - x > 0$, soit $x < 3$. Comme $1 = \ln \mathrm{e}$ et que $\ln$ est croissante : $3 - x \geq \mathrm{e}$, soit $x \leq 3 - \mathrm{e} \approx 0{,}282$. Ces nombres vérifient bien $x < 3$. $\mathcal{S} = \left]-\infty\,;3 - \mathrm{e}\right]$.

Exemple 13. Résoudre $\mathrm{e}^{-0{,}5x} < 0{,}2$. Comme $0{,}2 = \mathrm{e}^{\ln 0{,}2}$ : $-0{,}5x < \ln 0{,}2$. On divise par $-0{,}5$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change, $x > -2\ln 0{,}2$. Or $\ln 0{,}2 = \ln\left(\frac15\right) = -\ln 5$, donc $x > 2\ln 5 \approx 3{,}219$. $\mathcal{S} = \left]2\ln 5\,;+\infty\right[$.

Exemple 14. Résoudre $\ln(x - 1) < \ln(5 - x)$. Il faut $x > 1$ et $x < 5$. Sur $]1\,;5[$ : $x - 1 < 5 - x \iff x < 3$. $\mathcal{S} = \left]1\,;3\right[$.

3.6 Un changement de variable

Exemple 15. Résoudre $\mathrm{e}^{2x} - 5\,\mathrm{e}^x + 6 = 0$. On pose $X = \mathrm{e}^x$, avec $X > 0$ ; comme $\mathrm{e}^{2x} = \left(\mathrm{e}^x\right)^2 = X^2$, l'équation devient $X^2 - 5X + 6 = 0$, soit $(X - 2)(X - 3) = 0$. Donc $\mathrm{e}^x = 2$ ou $\mathrm{e}^x = 3$ : $\mathcal{S} = \{\ln 2\,;\ln 3\}$.

Exemple 16. Résoudre $(\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0$ sur $]0\,;+\infty[$. On pose $X = \ln x$ : $X^2 - X - 2 = 0$, soit $(X - 2)(X + 1) = 0$. Donc $\ln x = 2$ ou $\ln x = -1$ : $\mathcal{S} = \left\{\frac1{\mathrm{e}}\,;\mathrm{e}^2\right\}$.