QCM · Chapitre 8

Logarithme

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20 $\ln\left(\mathrm{e}^5\right) =$
$5$ $\mathrm{e}^5$ $\ln 5$ $1$

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Réponse A. Pour tout réel $x$ , $\ln\left(\mathrm{e}^x\right) = x$ .
Question 2 sur 20L'équation $\mathrm{e}^x = 3$ a pour solution
$\mathrm{e}^3$ $\ln 3$ $\dfrac{3}{\mathrm{e}}$ elle n'a pas de solution

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Réponse B. $3 > 0$ , donc $\mathrm{e}^x = 3 \iff x = \ln 3$ . La réponse A résout $\ln x = 3$ .
Question 3 sur 20La fonction $\ln$ est définie sur
$\mathbb{R}$ $[0\,;+\infty[$ $]0\,;+\infty[$ $]1\,;+\infty[$

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Réponse C. $\ln x$ est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $x$ : il faut $x > 0$ , car une exponentielle est toujours strictement positive.
Question 4 sur 20 $\ln 12 =$
$\ln 3 \times \ln 4$ $2\ln 2 + \ln 3$ $\ln 2 + 2\ln 3$ $6\ln 2$

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Réponse B. $12 = 2^2 \times 3$ , donc $\ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3$ . Le logarithme d'un produit est une somme, pas un produit.
Question 5 sur 20Pour tout réel $a > 0$ , $\ln\left(\dfrac{1}{a^2}\right) =$
$-2\ln a$ $\dfrac{1}{2\ln a}$ $-\ln(2a)$ $\dfrac{2}{\ln a}$

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Réponse A. $\ln\left(\frac{1}{a^2}\right) = -\ln\left(a^2\right) = -2\ln a$ .
Question 6 sur 20 $\ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) =$
$\sqrt{\mathrm{e}}$ $\dfrac12$ $2$ $\dfrac{\mathrm{e}}{2}$

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Réponse B. $\ln\left(\sqrt a\right) = \frac12\ln a$ , et $\ln \mathrm{e} = 1$ .
Question 7 sur 20L'ensemble des solutions de l'équation $\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6$ est
$\{3\}$ $\{-2\,;3\}$ $\{-2\}$ l'ensemble vide

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Réponse A. Il faut $x > 1$ . Alors $x(x - 1) = 6 \iff (x - 3)(x + 2) = 0$ , et seul $3$ vérifie $x > 1$ .
Question 8 sur 20L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x < 1$ est
$]-\infty\,;\mathrm{e}[$ $]0\,;\mathrm{e}[$ $]0\,;1[$ $]\mathrm{e}\,;+\infty[$

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Réponse B. $\ln x < \ln \mathrm{e} \iff 0 < x < \mathrm{e}$ : il ne faut pas oublier que $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ .
Question 9 sur 20 $\mathrm{e}^{-x} > 2$ équivaut à
$x > -\ln 2$ $x < -\ln 2$ $x > \ln 2$ $x < \ln 2$

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Réponse B. $-x > \ln 2$ , puis on multiplie par $-1$ en changeant le sens : $x < -\ln 2$ .
Question 10 sur 20La dérivée de $x \mapsto \ln(5x)$ sur $]0\,;+\infty[$ est
$x \mapsto \dfrac5x$ $x \mapsto \dfrac{1}{5x}$ $x \mapsto \dfrac1x$ $x \mapsto 5\ln x$

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Réponse C. $\big(\ln(u)\big)' = \frac{u'}{u} = \frac{5}{5x} = \frac1x$ . On le retrouve avec $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$ .
Question 11 sur 20La dérivée de $x \mapsto \ln\left(x^2 + 3\right)$ sur $\mathbb{R}$ est
$x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 3}$ $x \mapsto \dfrac{2x}{x^2 + 3}$ $x \mapsto 2x\ln\left(x^2 + 3\right)$ $x \mapsto \dfrac{2}{x}$

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Réponse B. $\big(\ln(u)\big)' = \frac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 3$ . La réponse A oublie de multiplier par $u'$ .
Question 12 sur 20Pour tout réel $x > 0$ ,
$\ln x \geq x - 1$ $\ln x \leq x - 1$ $\ln x \leq 1 - x$ $\ln x \geq x$

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Réponse B. La fonction $\ln$ est concave, et $y = x - 1$ est sa tangente au point d'abscisse $1$ .
Question 13 sur 20 $\displaystyle\lim_{x\to0^+} \ln x =$
$0$ $-\infty$ $+\infty$ $1$

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Réponse B. L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $\ln$ .
Question 14 sur 20Dans un repère orthonormé, les courbes des fonctions $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport
à l'axe des abscisses à l'axe des ordonnées à la droite d'équation $y = x$ à l'origine du repère

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Réponse C. Le point $(a\,;b)$ est sur la courbe de $\exp$ si et seulement si le point $(b\,;a)$ est sur la courbe de $\ln$ .
Question 15 sur 20 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} =$
$+\infty$ $1$ $0$ $\dfrac1{\mathrm{e}}$

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Réponse C. Croissance comparée : la puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme. La réponse D est le maximum de la fonction, atteint en $\mathrm{e}$ .
Question 16 sur 20 $\displaystyle\lim_{x\to0^+} x\ln x =$
$-\infty$ $0$ $1$ cette limite n'existe pas

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Réponse B. C'est la démonstration du programme : avec $X = \ln x$ , $x\ln x = X\,\mathrm{e}^X$ , qui tend vers $0$ quand $X \to -\infty$ .
Question 17 sur 20Le plus petit entier $n$ tel que $0{,}9^n < 0{,}5$ est
$6$ $7$ $65$ aucun entier ne convient

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Réponse B. $n\ln 0{,}9 < \ln 0{,}5$ ; comme $\ln 0{,}9 < 0$ , $n > \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx 6{,}58$ . Vérification : $0{,}9^6 \approx 0{,}531$ et $0{,}9^7 \approx 0{,}478$ .
Question 18 sur 20Une quantité suit le modèle $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}$ . Sa demi-vie est
$0{,}02\ln 2$ $\dfrac{\ln 2}{0{,}02}$ $50$ $\dfrac{0{,}02}{\ln 2}$

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Réponse B. $\mathrm{e}^{-0{,}02T} = \frac12 \iff 0{,}02\,T = \ln 2$ , soit $T = \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7$ .
Question 19 sur 20L'algorithme de Briggs repose sur deux idées :
$\ln\left(\sqrt a\right) = \frac12\ln a$ , et $\ln x \approx x - 1$ près de $1$ $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ , et $\ln x \approx x$ près de $0$ $\ln\left(a^2\right) = (\ln a)^2$ , et $\ln x \approx 1$ près de $\mathrm{e}$ $\ln a = \mathrm{e}^a$ , et $\ln x \approx 0$ près de $0$

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Réponse A. Chaque racine carrée divise le logarithme par deux, et la tangente en $1$ donne $\ln x \approx x - 1$ .
Question 20 sur 20Après $10$ racines carrées successives à partir de $2$ , on obtient $a_{10} \approx 1{,}000\,677$ . Une valeur approchée de $\ln 2$ est
$0{,}000\,677$ $2^{10} \times 0{,}000\,677 \approx 0{,}693$ $10 \times 0{,}000\,677 \approx 0{,}006\,8$ $\dfrac{1{,}000\,677}{1024} \approx 0{,}000\,98$

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Réponse B. $\ln 2 = 2^{10}\ln\left(a_{10}\right) \approx 2^{10}\left(a_{10} - 1\right)$ , et $1024 \times 0{,}000\,677 \approx 0{,}693$ .