Propriétés algébriques

2.1 La relation fondamentale

Propriété. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b.$ On dit que le logarithme transforme les produits en sommes.

Démonstration. D'après la propriété de l'exponentielle vue en Première, $\mathrm{e}^{\ln a + \ln b} = \mathrm{e}^{\ln a} \times \mathrm{e}^{\ln b} = a \times b.$ Par ailleurs, $\mathrm{e}^{\ln(ab)} = ab$. Les réels $\ln a + \ln b$ et $\ln(ab)$ ont la même exponentielle. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, deux réels distincts ont des exponentielles distinctes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

2.2 Les conséquences

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et tout entier relatif $n$ :

2.3 Exemples

Exemple 5. Écrire en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.

• $\ln 18 = \ln\left(2 \times 3^2\right) = \ln 2 + 2\ln 3$.
• $\ln\left(\dfrac1{16}\right) = -\ln\left(2^4\right) = -4\ln 2$.
• $\ln\left(\sqrt{12}\right) = \dfrac12\ln\left(2^2 \times 3\right) = \dfrac12\left(2\ln 2 + \ln 3\right) = \ln 2 + \dfrac12\ln 3$.
• $\ln 0{,}75 = \ln\left(\dfrac34\right) = \ln 3 - 2\ln 2$.

Exemple 6. $A = \ln\left(\mathrm{e}^3\right) - \ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) + \ln\left(\dfrac1{\mathrm{e}^2}\right) = 3 - \dfrac12 - 2 = \dfrac12$. $B = \ln 12 - \ln 3 - \ln 4 = \ln\left(\dfrac{12}{3 \times 4}\right) = \ln 1 = 0$.

Exemple 7. Pour tout réel $x > 0$ : $\ln\left(x^2 + x\right) - \ln x = \ln\left(\dfrac{x^2 + x}{x}\right) = \ln(x + 1)$.

Exemple 8. $3 - \sqrt5 > 0$, car $\sqrt5 \approx 2{,}236$. Donc $\ln\left(3 + \sqrt5\right) + \ln\left(3 - \sqrt5\right) = \ln\left(\left(3 + \sqrt5\right)\left(3 - \sqrt5\right)\right) = \ln(9 - 5) = \ln 4 = 2\ln 2.$

2.4 Les pièges

• Il n'y a pas de formule pour le logarithme d'une somme. $\ln(1 + 1) = \ln 2 \approx 0{,}693$, alors que $\ln 1 + \ln 1 = 0$.
• Le logarithme d'un produit n'est pas le produit des logarithmes. $\ln\left(\mathrm{e} \times \mathrm{e}\right) = 2$, alors que $\ln \mathrm{e} \times \ln \mathrm{e} = 1$.
• Attention au signe. La règle $\ln\left(a^n\right) = n\ln a$ demande $a > 0$. Pour $x = -3$, $\ln\left(x^2\right) = \ln 9$ existe, mais $\ln x$ n'existe pas : $\ln\left(x^2\right) = 2\ln x$ n'est vrai que pour $x > 0$.

2.5 Deux équations fonctionnelles en miroir

Le programme demande d'« utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture ». Les deux tableaux se correspondent ligne à ligne.

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; le logarithme transforme les produits en sommes. C'est cette propriété qui a fait le succès des logarithmes, bien avant les calculatrices (leçon 8).