Devoir sur 20 : Logarithme · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Écrire $\ln 54$ et $\ln\left(\dfrac{1}{24}\right)$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ . (1 point)
Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ :
- a. $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$ (1,5 point)
- b. $\mathrm{e}^{2x} - 4\,\mathrm{e}^x + 3 = 0$ (1,5 point)
- c. $\ln(4 - x) \leq 0$ (1 point)
- d. $\mathrm{e}^{1 - x} \geq \dfrac12$ (1 point)

Exercice 2 (9 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x(2 - \ln x)$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Déterminer la limite de $f$ en $0$ , puis sa limite en $+\infty$ . (2 points)
Montrer que $f'(x) = 1 - \ln x$ . (1 point)
Dresser le tableau de variations complet de $f$ . (2 points)
Résoudre l'équation $f(x) = 0$ , puis donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ . (1,5 point)
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ . (1 point)
Étudier la convexité de $f$ , puis en déduire que $x(2 - \ln x) \leq x + 1$ pour tout $x > 0$ . (1,5 point)

Exercice 3 (5 points)

Les ventes mensuelles d'un roman paru en janvier diminuent de $6\,\%$ chaque mois. Le premier mois, il s'en est vendu $12\,000$ exemplaires. On note $V_n$ le nombre d'exemplaires vendus le mois de rang $n$ ( $V_0 = 12\,000$ ).

Justifier que $V_n = 12\,000 \times 0{,}94^n$ . (1 point)
Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $V_n < 3000$ . (2 points)
Vérifier ce résultat en calculant $V_{22}$ et $V_{23}$ , arrondis à l'unité. (1 point)
Au bout de combien de mois les ventes mensuelles ont-elles diminué au moins de moitié ? Ce nombre dépend-il des ventes du premier mois ? (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $54 = 2 \times 3^3$ , donc $\ln 54 = \ln 2 + 3\ln 3$ . $24 = 2^3 \times 3$ , donc $\ln\left(\frac{1}{24}\right) = -\ln 24 = -3\ln 2 - \ln 3$ .

2.a. (1,5 pt) Il faut $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$ , soit $x > 1$ . Alors $\ln\big((x - 1)(x + 1)\big) = \ln 8 \iff x^2 - 1 = 8 \iff x^2 = 9 \iff x = 3$ ou $x = -3$ . Seul $3$ vérifie $x > 1$ : $\mathcal{S} = \{3\}$ .

2.b. (1,5 pt) On pose $X = \mathrm{e}^x > 0$ : $X^2 - 4X + 3 = 0 \iff (X - 1)(X - 3) = 0$ . Donc $\mathrm{e}^x = 1$ ou $\mathrm{e}^x = 3$ : $\mathcal{S} = \{0\,;\ln 3\}$ .

2.c. (1 pt) Il faut $4 - x > 0$ , soit $x < 4$ . $\ln(4 - x) \leq \ln 1 \iff 4 - x \leq 1 \iff x \geq 3$ . $\mathcal{S} = [3\,;4[$ .

2.d. (1 pt) $1 - x \geq \ln\left(\frac12\right) = -\ln 2 \iff x \leq 1 + \ln 2$ . $\mathcal{S} = \left]-\infty\,;1 + \ln 2\right]$ .

Exercice 2

1. (2 pts) En $0$ : $f(x) = 2x - x\ln x$ , avec $2x \to 0$ et $x\ln x \to 0$ (croissance comparée), donc $\lim\limits_{x\to0^+} f(x) = 0$ . En $+\infty$ : $x \to +\infty$ et $2 - \ln x \to -\infty$ , donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$ .

2. (1 pt) $f(x) = 2x - x\ln x$ . La dérivée de $x\ln x$ est $\ln x + 1$ (produit). Donc $f'(x) = 2 - (\ln x + 1) = 1 - \ln x$ .

3. (2 pts) $f'(x) > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < \mathrm{e}$ . Le maximum vaut $f(\mathrm{e}) = \mathrm{e}(2 - 1) = \mathrm{e}$ .

$x$	$0$		$\mathrm{e}$		$+\infty$
$f'(x)$	‖	$+$	$0$	$-$
$f$	$0$	croissante	$\mathrm{e}$	décroissante	$-\infty$

4. (1,5 pt) Pour $x > 0$ : $f(x) = 0 \iff 2 - \ln x = 0 \iff x = \mathrm{e}^2$ . Comme $x > 0$ , $f(x)$ a le signe de $2 - \ln x$ : positif sur $\left]0\,;\mathrm{e}^2\right[$ , négatif sur $\left]\mathrm{e}^2\,;+\infty\right[$ .

5. (1 pt) $f(1) = 1 \times (2 - 0) = 2$ et $f'(1) = 1$ : $T$ a pour équation $y = 2 + (x - 1)$ , soit $y = x + 1$ .

6. (1,5 pt) $f''(x) = -\dfrac1x < 0$ sur $]0\,;+\infty[$ : $f$ est concave. Sa courbe est en dessous de ses tangentes, en particulier de $T$ : $x(2 - \ln x) \leq x + 1$ pour tout $x > 0$ .

Exercice 3

1. (1 pt) Diminuer de $6\,\%$ , c'est multiplier par $0{,}94$ : $V_{n+1} = 0{,}94\,V_n$ . La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $0{,}94$ et de premier terme $12\,000$ , donc $V_n = 12\,000 \times 0{,}94^n$ .

2. (2 pts) $V_n < 3000 \iff 0{,}94^n < 0{,}25 \iff n\ln 0{,}94 < \ln 0{,}25$ . Comme $\ln 0{,}94 < 0$ , on divise en changeant le sens : $n > \dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}94} \approx 22{,}40$ . Le plus petit entier est $n = 23$ .

3. (1 pt) $V_{22} \approx 3076 \geq 3000$ et $V_{23} \approx 2891 < 3000$ .

4. (1 pt) On cherche le plus petit $n$ tel que $0{,}94^n \leq 0{,}5$ : $n \geq \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}94} \approx 11{,}20$ , donc $n = 12$ mois. Ce nombre ne dépend pas des ventes du premier mois : la condition ne fait intervenir que $0{,}94^n$ .