Croissance comparée de $x^n$ et de l'exponentielle

7.1 Le théorème

Théorème (démonstration du programme : « croissance comparée de $x \mapsto x^n$ et exp en $+\infty$ »). Pour tout entier $n \geq 1$, $\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty.$ On dit qu'en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.

Ce n'est pas visible tout de suite. Pour $x = 10$ : $x^{10} = 10^{10}$ alors que $\mathrm{e}^{10} \approx 22\,026$. Mais pour $x = 100$ : $x^{10} = 10^{20}$ et $\mathrm{e}^{100} \approx 2{,}7 \times 10^{43}$, soit $\dfrac{\mathrm{e}^{100}}{100^{10}} \approx 2{,}7 \times 10^{23}$ : plus de cent mille milliards de milliards.

7.2 Démonstration

Étape 1 : le cas $n = 1$. Sur $[0\,;+\infty[$, soit $h(x) = \mathrm{e}^x - \dfrac{x^2}{2}$.

• $h'(x) = \mathrm{e}^x - x$. D'après la leçon 6, $\mathrm{e}^x \geq x + 1 > x$, donc $h'(x) > 0$ : $h$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
• Pour tout $x \geq 0$, $h(x) \geq h(0) = 1 > 0$, donc $\mathrm{e}^x > \dfrac{x^2}{2}$.
• Pour $x > 0$, en divisant par $x$ : $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x} > \dfrac{x}{2}$. Comme $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$, par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$.

Étape 2 : $n$ quelconque. Pour $x > 0$, $\mathrm{e}^x = \left(\mathrm{e}^{x/n}\right)^n$ (propriété algébrique de l'exponentielle). Donc $\frac{\mathrm{e}^x}{x^n} = \left(\frac{\mathrm{e}^{x/n}}{x}\right)^n = \left(\frac1n \times \frac{\mathrm{e}^{x/n}}{x/n}\right)^n = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\mathrm{e}^X}{X}\right)^n \quad\text{avec } X = \frac{x}{n}.$ Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$, donc $\dfrac{\mathrm{e}^X}{X} \to +\infty$ (étape 1, par composition). Par produit, $\left(\dfrac{\mathrm{e}^X}{X}\right)^n \to +\infty$, et comme $\dfrac{1}{n^n} > 0$, $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty$.

7.3 Conséquences

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x\to+\infty} x^n\,\mathrm{e}^{-x} = 0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty} x^n\,\mathrm{e}^x = 0.$

• La première s'obtient en passant à l'inverse : $\dfrac{x^n}{\mathrm{e}^x} = \dfrac{1}{\;\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}\;}$, quotient de $1$ par une quantité qui tend vers $+\infty$.
• Pour la seconde, on pose $X = -x$, qui tend vers $+\infty$ : $x^n\,\mathrm{e}^x = (-X)^n\,\mathrm{e}^{-X} = (-1)^n\,\dfrac{X^n}{\mathrm{e}^X} \to 0$.

La règle à retenir. En l'infini, dans un produit ou un quotient où l'exponentielle fait face à une puissance de $x$, c'est l'exponentielle qui l'emporte.

7.4 Applications

Exemple 21. $f(x) = x\,\mathrm{e}^x$.

• En $-\infty$ : forme $0 \times \infty$, mais par croissance comparée ($n = 1$), $\lim\limits_{x\to-\infty} x\,\mathrm{e}^x = 0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$.
• En $+\infty$ : $x \to +\infty$ et $\mathrm{e}^x \to +\infty$, donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty} x\,\mathrm{e}^x = +\infty$.

Exemple 22. $\mathrm{e}^x - x^2$ en $+\infty$ : forme $\infty - \infty$. On factorise par le terme prépondérant, $\mathrm{e}^x$ : $\mathrm{e}^x - x^2 = \mathrm{e}^x\left(1 - \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}\right).$ Par croissance comparée, $\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$, et $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\mathrm{e}^x - x^2\right) = +\infty$.

Exemple 23 (un médicament). Après la prise d'un médicament, sa concentration dans le sang, en milligrammes par litre, au bout de $t$ heures, est $C(t) = 8t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ ($t \geq 0$).

• $C'(t) = 8\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} - 4t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 4\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}(2 - t)$ : $C$ est croissante sur $[0\,;2]$, décroissante sur $[2\,;+\infty[$. Le maximum est $C(2) = 16\,\mathrm{e}^{-1} \approx 5{,}9$ mg/L, au bout de $2$ heures.
• On pose $X = 0{,}5t$ : $C(t) = 16\,X\,\mathrm{e}^{-X}$. Quand $t \to +\infty$, $X \to +\infty$ et $X\,\mathrm{e}^{-X} \to 0$ par croissance comparée. Donc $\lim\limits_{t\to+\infty} C(t) = 0$.

Interprétation : le médicament finit par être éliminé ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale.

Exemple 24 (une suite). $u_n = \dfrac{n^{10}}{\mathrm{e}^n}$. Avec $f(x) = \dfrac{x^{10}}{\mathrm{e}^x}$ et la leçon 5, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 0$, alors que $u_{10} = \dfrac{10^{10}}{\mathrm{e}^{10}} \approx 453\,999$ : les premiers termes sont trompeurs.