Limite finie en l'infini, asymptote horizontale

1.1 Un exemple : le coût moyen

Un atelier fabrique des bols en céramique. Fabriquer $x$ bols coûte $C(x) = 4x + 300$ euros : $300$ euros de frais fixes et $4$ euros par bol. Le coût moyen d'un bol est $m(x) = \frac{C(x)}{x} = 4 + \frac{300}{x} \qquad (x > 0).$

Plus on fabrique de bols, plus le coût moyen se rapproche de $4$ euros.

1.2 Définition en $+\infty$

Définition. La fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell.$

« Pour $x$ assez grand » signifie : pour tout $x$ de l'ensemble de définition supérieur à un certain réel $B$. Le réel $B$ dépend de l'intervalle choisi : plus l'intervalle est étroit, plus il faut aller loin. C'est la même définition que pour les suites (chapitre 2), le rang $N$ étant remplacé par le réel $B$.

Exemple 1 (le coût moyen). Prenons l'intervalle ouvert $]3{,}9\,;4{,}1[$, qui contient $4$.

• Pour tout $x > 0$, $\dfrac{300}{x} > 0$, donc $m(x) > 4 > 3{,}9$.
• $m(x) < 4{,}1 \iff \dfrac{300}{x} < 0{,}1 \iff x > 3\,000$.

Au-delà de $3\,000$ bols, le coût moyen est à moins de dix centimes de $4$ euros. Avec la bande $]3{,}5\,;4{,}5[$, il suffit que $x > 600$. Plus généralement, soit $r > 0$ : $m(x) \in\, ]4 - r\,;4 + r[$ dès que $\dfrac{300}{x} < r$, c'est-à-dire dès que $x > \dfrac{300}{r}$. Tout intervalle ouvert contenant $4$ contient un intervalle $]4 - r\,;4 + r[$, donc $\lim_{x\to+\infty} m(x) = 4.$

1.3 Définition en $-\infty$

Définition. La fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $-\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est inférieur à un certain réel. On note $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = \ell$.

Exemple 2 (fonction inverse). Soit $r > 0$. Si $x > \dfrac1r$, alors $0 < \dfrac1x < r$ ; si $x < -\dfrac1r$, alors $-r < \dfrac1x < 0$. Donc $\lim_{x\to+\infty} \frac1x = 0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty} \frac1x = 0.$ Par exemple, avec $r = 0{,}5$ : $-0{,}5 < \dfrac1x < 0{,}5$ dès que $x > 2$ ou $x < -2$.

1.4 Asymptote horizontale

Définition. Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$. De même en $-\infty$.

Graphiquement, la courbe se rapproche de cette droite quand $x$ devient grand (ou, en $-\infty$, quand $x$ devient négatif et grand en valeur absolue).

• Pour le coût moyen, la droite $y = 4$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
• Pour $x \mapsto \dfrac1x$, l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Lien dans les deux sens (programme : « faire le lien entre l'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante »). Une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote $y = \ell$ ; réciproquement, si on lit sur un graphique une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ en $+\infty$, on en déduit $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

1.5 Position de la courbe par rapport à l'asymptote

On étudie le signe de $f(x) - \ell$ :

• si $f(x) - \ell > 0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote ;
• si $f(x) - \ell < 0$, elle est au-dessous.

Exemple 3. $m(x) - 4 = \dfrac{300}{x} > 0$ pour $x > 0$ : la courbe du coût moyen est au-dessus de la droite $y = 4$. Le coût moyen reste toujours supérieur à $4$ euros, sans jamais l'atteindre.

Attention. Une courbe peut couper son asymptote, et même une infinité de fois (leçon 6, exemple 20).