Limites des fonctions de référence

Le programme cite les « fonctions de référence étudiées en classe de première : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle ». Dans toute la leçon, $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.

3.1 Les puissances $x^n$

Pourquoi $x^n \to +\infty$ en $+\infty$ ? Pour $x \geq 1$, $x^{n-1} \geq 1$, donc $x^n \geq x$. Soit $A \geq 1$ : dès que $x \geq A$, $x^n \geq x \geq A$.

En $-\infty$. $x^n = (-1)^n(-x)^n$ et $-x \to +\infty$ : on obtient $+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair.

3.2 Les inverses des puissances et la racine carrée

Asymptotes : la courbe de $x \mapsto \dfrac{1}{x^n}$ a pour asymptotes l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses ; celle de $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ aussi (asymptote verticale à droite de $0$, horizontale en $+\infty$).

3.3 La fonction exponentielle

Théorème (démonstration du programme). $\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0.$ L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$.

Rappels de Première. La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\mathrm{e} = \mathrm{e}^1 \approx 2{,}72$ ; pour tout réel $a$, la suite $(\mathrm{e}^{na})$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^a$.

Démonstration en $+\infty$.

1. La suite $(\mathrm{e}^n)$ est géométrique de raison $\mathrm{e} > 1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{e}^n = +\infty$ (chapitre 2, limite de $q^n$).
2. Soit $A$ un réel. D'après la définition de cette limite, il existe un entier $N$ tel que $\mathrm{e}^N \geq A$.
3. La fonction exponentielle est croissante : pour tout $x \geq N$, $\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}^N \geq A$.
4. L'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc toutes les valeurs $\mathrm{e}^x$ pour $x \geq N$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Démonstration en $-\infty$.

1. La suite $(\mathrm{e}^{-n})$ est géométrique de raison $\dfrac1{\mathrm{e}}$, et $0 < \dfrac1{\mathrm{e}} < 1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0$.
2. Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $0$. Il contient un intervalle $]-r\,;r[$ avec $r > 0$. Comme $\mathrm{e}^{-n} \to 0$, il existe un entier $N$ tel que $\mathrm{e}^{-N} < r$.
3. Pour tout $x \leq -N$, l'exponentielle étant positive et croissante : $0 < \mathrm{e}^x \leq \mathrm{e}^{-N} < r$, donc $\mathrm{e}^x \in\, ]-r\,;r[ \;\subset I$.
4. $I$ contient toutes les valeurs $\mathrm{e}^x$ pour $x \leq -N$ : $\lim\limits_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0$.

Une seconde démonstration de la limite en $+\infty$, par comparaison, est donnée à la leçon 6.

Exemple 9 (valeurs). $\mathrm{e}^{10} \approx 22\,026$ et $\mathrm{e}^{-10} \approx 0{,}000\,045$ : l'exponentielle grandit très vite en $+\infty$ et s'écrase très vite vers $0$ en $-\infty$.

3.4 Limite finie en un réel

Définition. Soit $a$ un réel (dans l'ensemble de définition de $f$, ou qui en est une borne). La fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell$.

Propriété (admise). Si $f$ est une fonction de référence (ou une fonction construite à partir d'elles par opérations) définie en un réel $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Pour la racine carrée en $0$, il s'agit de la limite à droite.

Exemple 10. $\lim\limits_{x\to3} x^2 = 9$ ; $\quad\lim\limits_{x\to4} \sqrt{x} = 2$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0} \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 = 1$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-1} \dfrac{1}{x^2} = 1$.

Cette propriété est celle des fonctions continues : elle sera reprise au chapitre 7.