Composition des limites

Le programme précise : « L'utilisation de la composition des limites se fait en contexte. » On l'utilise donc sur des exemples, sans théorie générale.

5.1 Le principe (admis)

Une fonction de la forme $x \mapsto v\big(u(x)\big)$ s'obtient en appliquant $u$, puis $v$. (On la notera $v \circ u$ au chapitre 5.)

Propriété (admise). Soient $a$, $b$, $c$ des réels, $+\infty$ ou $-\infty$. Si $\lim\limits_{x\to a} u(x) = b$ et $\lim\limits_{X\to b} v(X) = c$, alors $\lim_{x\to a} v\big(u(x)\big) = c.$

Méthode. On pose $X = u(x)$ ; on cherche la limite de $X$, puis celle de $v(X)$.

5.2 Exemples

Exemple 15. $\mathrm{e}^{-x^2}$ en $+\infty$. On pose $X = -x^2$. Quand $x \to +\infty$, $X \to -\infty$, et $\lim\limits_{X\to-\infty} \mathrm{e}^X = 0$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} = 0$. De même en $-\infty$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale des deux côtés.

Exemple 16. $h(x) = \sqrt{\dfrac{4x+1}{x+2}}$ en $+\infty$. On pose $X = \dfrac{4x+1}{x+2} = \dfrac{4 + \frac1x}{1 + \frac2x}$ (pour $x > 0$), qui tend vers $4$. Et $\lim\limits_{X\to4} \sqrt{X} = \sqrt4 = 2$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = 2$.

Exemple 17. $\mathrm{e}^{1/x}$, définie pour $x \neq 0$.

• En $+\infty$ : $\dfrac1x \to 0$ et $\lim\limits_{X\to0} \mathrm{e}^X = \mathrm{e}^0 = 1$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{1/x} = 1$ (asymptote $y = 1$). De même en $-\infty$.
• À droite de $0$ : $\dfrac1x \to +\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^+} \mathrm{e}^{1/x} = +\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
• À gauche de $0$ : $\dfrac1x \to -\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^-} \mathrm{e}^{1/x} = 0$.

5.3 Une tasse de thé qui refroidit

Une tasse de thé à $90$ degrés est posée dans une pièce à $20$ degrés. Sa température, en degrés, au bout de $t$ minutes est $T(t) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} \qquad (t \geq 0).$

• $T(0) = 90$ ; $T(10) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-1} \approx 45{,}8$ ; $T(30) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-3} \approx 23{,}5$.
• Quand $t \to +\infty$, $-0{,}1t \to -\infty$, donc $\mathrm{e}^{-0{,}1t} \to 0$ et $\lim\limits_{t\to+\infty} T(t) = 20$.
• $T(t) - 20 = 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} > 0$ : la température reste au-dessus de $20$ degrés.

Interprétation : le thé finit à la température de la pièce, sans jamais descendre en dessous. La droite $T = 20$ est asymptote horizontale.

5.4 Lien avec les suites

Propriété. Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = L$ ($L$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$), alors la suite définie par $u_n = f(n)$ vérifie $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = L$.

Justification. Si un intervalle contient $f(x)$ pour tout $x > B$, il contient en particulier $u_n = f(n)$ pour tout entier $n > B$.

Exemple 18. Les températures relevées chaque minute forment la suite $u_n = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}$, qui tend vers $20$. De même, $\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}} \to 2$ (exemple 16).

Attention : la réciproque est fausse. Si $u_n = \cos(2\pi n)$, alors $u_n = 1$ pour tout $n$ et la suite tend vers $1$ ; pourtant, la fonction $x \mapsto \cos(2\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.