Démontrer des inégalités par la convexité

8.1 Le principe

La convexité donne des inégalités « gratuites ».

• Avec une tangente. Si $f$ est convexe sur $I$ et $a$ est un réel de $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$. Si $f$ est concave, l'inégalité est dans l'autre sens.
• Avec une sécante. Si $f$ est convexe sur $[a\,;b]$, alors, pour tout $x$ de $[a\,;b]$, $f(x) \leq f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$. Si $f$ est concave, l'inégalité est dans l'autre sens.

Méthode. On choisit la fonction, on justifie sa convexité ou sa concavité (signe de $f''$), on écrit l'équation de la tangente ou de la sécante qui convient, et on conclut.

8.2 Avec une tangente

Exemple 25 : $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$. La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ (exemple 17). Sa tangente au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = \mathrm{e}^0 + \mathrm{e}^0(x - 0)$, soit $y = x + 1$. La courbe est au-dessus de cette tangente, donc $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$.

Au chapitre 4, cette inégalité a été démontrée en étudiant la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^x - x - 1$. La convexité la donne en une ligne.

Exemple 26 : $\sqrt{x} \leq \dfrac{x + 1}{2}$ pour tout $x \geq 0$. La fonction racine carrée est concave sur $]0\,;+\infty[$ (exemple 18). Sa tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = 1 + \dfrac12(x - 1)$, soit $y = \dfrac{x + 1}{2}$. La courbe est en dessous de cette tangente, donc $\sqrt{x} \leq \dfrac{x + 1}{2}$ pour tout $x > 0$ ; c'est vrai aussi pour $x = 0$.

Par exemple, $\sqrt{1{,}1} \leq 1{,}05$ (la calculatrice donne $\sqrt{1{,}1} \approx 1{,}0488$).

8.3 Avec une sécante

Exemple 27 : $\mathrm{e}^x \leq 1 + (\mathrm{e} - 1)\,x$ pour tout $x$ de $[0\,;1]$. La fonction exponentielle est convexe. La sécante passant par $A(0\,;1)$ et $B(1\,;\mathrm{e})$ a pour pente $\dfrac{\mathrm{e} - 1}{1 - 0} = \mathrm{e} - 1$, et pour équation $y = 1 + (\mathrm{e} - 1)\,x$. Sur $[0\,;1]$, la courbe est sous la sécante, d'où l'inégalité.

8.4 Encadrer un nombre

Exemple 28. Pour $x = 0{,}5$, les exemples 25 et 27 donnent $1{,}5 \leq \mathrm{e}^{0{,}5} \leq 1 + 0{,}5(\mathrm{e} - 1) = \frac{1 + \mathrm{e}}{2} \approx 1{,}859.$ La calculatrice donne $\mathrm{e}^{0{,}5} \approx 1{,}649$. Pour $x = 0{,}1$ : $1{,}1 \leq \mathrm{e}^{0{,}1} \leq 1 + 0{,}1(\mathrm{e} - 1) \approx 1{,}172$, avec $\mathrm{e}^{0{,}1} \approx 1{,}105$. Plus $x$ est proche de $0$, plus la tangente donne une bonne valeur approchée.