QCM · Chapitre 5

Dérivation et convexité

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20La dérivée de $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$ est
$\mathrm{e}^x$ $(x + 1)\,\mathrm{e}^x$ $x\,\mathrm{e}^x$ $(x - 1)\,\mathrm{e}^x$

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Réponse B. Règle du produit : $1 \times \mathrm{e}^x + x\,\mathrm{e}^x = (x + 1)\,\mathrm{e}^x$ .
Question 2 sur 20La tangente à la courbe de $f(x) = x^2 + 1$ au point d'abscisse $1$ a pour équation
$y = 2x$ $y = 2x + 2$ $y = x + 1$ $y = 2x - 1$

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Réponse A. $f(1) = 2$ et $f'(1) = 2$ , donc $y = 2 + 2(x - 1) = 2x$ .
Question 3 sur 20Avec $u(x) = x + 3$ et $v(x) = x^2$ , l'expression de $(v \circ u)(x)$ est
$x^2 + 3$ $(x + 3)^2$ $x^2(x + 3)$ $x + 9$

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Réponse B. On applique d'abord $u$ , puis $v$ : $v(x + 3) = (x + 3)^2$ . La réponse A est $(u \circ v)(x)$ .
Question 4 sur 20Avec les mêmes fonctions, $(u \circ v)(1) =$
$16$ $4$ $10$ $7$

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Réponse B. $v(1) = 1$ , puis $u(1) = 4$ . La réponse A est $(v \circ u)(1) = v(4) = 16$ .
Question 5 sur 20La fonction $x \mapsto \sqrt{4 - 2x}$ est définie sur
$]-\infty\,;2]$ $[2\,;+\infty[$ $]-\infty\,;2[$ $\mathbb{R}$

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Réponse A. Il faut $4 - 2x \geq 0$ , soit $x \leq 2$ ; en $2$ , la racine vaut $0$ .
Question 6 sur 20La dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^{3x^2}$ est
$x \mapsto \mathrm{e}^{3x^2}$ $x \mapsto 6x\,\mathrm{e}^{3x^2}$ $x \mapsto 3x^2\,\mathrm{e}^{3x^2 - 1}$ $x \mapsto 6x\,\mathrm{e}^{6x}$

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Réponse B. $\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\,\mathrm{e}^u$ avec $u(x) = 3x^2$ et $u'(x) = 6x$ .
Question 7 sur 20La dérivée de $x \mapsto \sqrt{x^2 + 5}$ est
$x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}}$ $x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$ $x \mapsto \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 5}}$ $x \mapsto x\sqrt{x^2 + 5}$

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Réponse B. $\left(\sqrt u\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 5}}$ . La réponse A oublie de multiplier par $u'$ .
Question 8 sur 20La dérivée de $x \mapsto \left(x^2 + 1\right)^4$ est
$x \mapsto 4\left(x^2 + 1\right)^3$ $x \mapsto 8x\left(x^2 + 1\right)^3$ $x \mapsto 4x\left(x^2 + 1\right)^3$ $x \mapsto 8x\left(x^2 + 1\right)^4$

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Réponse B. $\left(u^4\right)' = 4\,u'\,u^3$ avec $u'(x) = 2x$ .
Question 9 sur 20Soit $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ , de dérivée $f'(x) = (1 - x)\,\mathrm{e}^{-x}$ . La fonction $f$ admet un maximum égal à
$\mathrm{e}^{-1}$ $1$ $\mathrm{e}$ $0$

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Réponse A. $f'$ est positive avant $1$ , négative après : le maximum est $f(1) = \mathrm{e}^{-1}$ .
Question 10 sur 20 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x} =$
$+\infty$ $0$ $1$ $-\infty$

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Réponse B. $x\,\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^x}$ et, par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte.
Question 11 sur 20Pour $f(x) = x^3 + 2x^2 - x$ , la dérivée seconde est
$f''(x) = 3x^2 + 4x - 1$ $f''(x) = 6x + 4$ $f''(x) = 6x$ $f''(x) = 6x - 1$

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Réponse B. $f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$ (réponse A), puis $f''(x) = 6x + 4$ .
Question 12 sur 20Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si, sur $I$ , sa courbe est
au-dessus de ses sécantes en dessous de ses sécantes au-dessus de l'axe des abscisses en dessous de ses tangentes

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Réponse B. C'est la définition du programme : entre deux points $A$ et $B$ , la courbe est sous le segment $[AB]$ .
Question 13 sur 20Laquelle de ces fonctions est concave sur $]0\,;+\infty[$ ?
$x \mapsto x^2$ $x \mapsto \mathrm{e}^x$ $x \mapsto \sqrt{x}$ $x \mapsto \dfrac1x$

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Réponse C. La racine carrée est concave ; les trois autres sont convexes sur $]0\,;+\infty[$ .
Question 14 sur 20Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ , avec $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$ . Alors
$f$ est croissante sur $I$ $f$ est positive sur $I$ la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes la courbe de $f$ est en dessous de ses tangentes

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Réponse C. C'est la démonstration du programme. $f'' \geq 0$ dit que $f'$ est croissante, pas que $f$ l'est : $x \mapsto x^2$ a une dérivée seconde positive mais n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ .
Question 15 sur 20Pour $f(x) = x\,\mathrm{e}^x$ , on a $f''(x) = (x + 2)\,\mathrm{e}^x$ . La fonction $f$ est convexe sur
$\mathbb{R}$ $[-2\,;+\infty[$ $]-\infty\,;-2]$ $[-1\,;+\infty[$

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Réponse B. $f''(x)$ a le signe de $x + 2$ , positif ou nul pour $x \geq -2$ .
Question 16 sur 20Sur un intervalle $I$ , la dérivée $f'$ est décroissante. Alors $f$ est
décroissante sur $I$ concave sur $I$ convexe sur $I$ négative sur $I$

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Réponse B. $f'$ décroissante caractérise une fonction concave. Les variations de $f$ dépendent du signe de $f'$ , pas de ses variations.
Question 17 sur 20La courbe de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ a un point d'inflexion au point
$(0\,;2)$ $(1\,;0)$ $(2\,;-2)$ elle n'en a pas

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Réponse B. $f''(x) = 6(x - 1)$ s'annule en $1$ en changeant de signe, et $f(1) = 0$ . Les points A et C sont les extremums de $f$ .
Question 18 sur 20Si $f''(a) = 0$ , alors
le point d'abscisse $a$ est toujours un point d'inflexion $f$ admet un extremum en $a$ le point d'abscisse $a$ n'est pas forcément un point d'inflexion $f'(a) = 0$

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Réponse C. Il faut que $f''$ change de signe. Pour $x \mapsto x^4$ , $f''(0) = 0$ mais l'origine n'est pas un point d'inflexion.
Question 19 sur 20Pour tout réel $x$ , on a
$\mathrm{e}^x \leq x + 1$ $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ $\mathrm{e}^x \geq x + 2$ $\mathrm{e}^x \leq 1 + \dfrac{x}{2}$

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Réponse B. L'exponentielle est convexe et $y = x + 1$ est sa tangente en $0$ . La réponse C est fausse en $0$ : $\mathrm{e}^0 = 1 < 2$ .
Question 20 sur 20La racine carrée est concave. Sa tangente au point d'abscisse $4$ donne, pour tout $x \geq 0$ ,
$\sqrt{x} \leq \dfrac{x}{4} + 1$ $\sqrt{x} \geq \dfrac{x}{4} + 1$ $\sqrt{x} \leq \dfrac{x}{2}$ $\sqrt{x} \geq \dfrac{x + 1}{2}$

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Réponse A. La tangente en $4$ a pour équation $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ , et une courbe concave est en dessous de ses tangentes.