Dérivée d'une fonction composée

3.1 Le théorème

Théorème (admis). Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $v$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, telles que $u(x)$ appartienne à $J$ pour tout $x$ de $I$. Alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u', \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad (v \circ u)'(x) = v'\big(u(x)\big) \times u'(x).$

Bien lire la formule. On dérive la fonction extérieure $v$ en gardant l'intérieur $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur, $u'(x)$.

On retrouve la règle de Première. Si $u(x) = ax + b$, alors $u'(x) = a$ et la formule donne $\big(v(ax + b)\big)' = a\,v'(ax + b)$.

3.2 Trois formules à connaître

Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$.

Elles viennent toutes du théorème. Par exemple, pour $\sqrt{u}$ : la fonction extérieure est $v(X) = \sqrt{X}$, de dérivée $v'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt X}$, donc $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \times u'$. Le cas $n = -1$ redonne la règle de Première $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$.

3.3 Exemples

Exemple 7. $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$ : $f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}.$

Exemple 8. $g(x) = \left(x^2 - 3x\right)^4$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 - 3x$, donc $u'(x) = 2x - 3$ : $g'(x) = 4\,(2x - 3)\left(x^2 - 3x\right)^3.$

Exemple 9. $h(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $x^2 + 9 > 0$. On pose $u(x) = x^2 + 9$, donc $u'(x) = 2x$ : $h'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}.$ Tangente au point d'abscisse $4$. $h(4) = \sqrt{25} = 5$ et $h'(4) = \dfrac45$. La tangente a pour équation $y = 5 + \dfrac45(x - 4)$, soit $y = 0{,}8\,x + 1{,}8$.

Exemple 10. $k(x) = \dfrac{1}{\left(x^2 + 1\right)^2} = \left(x^2 + 1\right)^{-2}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 + 1$, qui ne s'annule pas, et on applique la formule avec $n = -2$ : $k'(x) = -2 \times 2x \times \left(x^2 + 1\right)^{-3} = -\frac{4x}{\left(x^2 + 1\right)^3}.$

3.4 Deux pièges

• Oublier de multiplier par $u'$. La dérivée de $\mathrm{e}^{x^2}$ n'est pas $\mathrm{e}^{x^2}$, mais $2x\,\mathrm{e}^{x^2}$. La dérivée de $\sqrt{x^2 + 9}$ n'est pas $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}}$.
• Se tromper d'extérieur. $\left(\mathrm{e}^x\right)^2$ et $\mathrm{e}^{x^2}$ sont deux fonctions différentes. Pour la première, l'extérieur est $X^2$ : sa dérivée est $2\,\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^x = 2\,\mathrm{e}^{2x}$.

3.5 Pour comprendre la formule (hors attendus du programme)

Le programme ne demande pas de démontrer cette formule. Voici l'idée. Pour $x$ proche de $a$, avec $u(x) \neq u(a)$, on écrit le taux de variation de $v \circ u$ en deux morceaux : $\frac{v\big(u(x)\big) - v\big(u(a)\big)}{x - a} = \frac{v\big(u(x)\big) - v\big(u(a)\big)}{u(x) - u(a)} \times \frac{u(x) - u(a)}{x - a}.$ Quand $x$ tend vers $a$, $u(x)$ tend vers $u(a)$ (on l'admet ici, le chapitre 7 y reviendra). Le premier facteur tend alors vers $v'\big(u(a)\big)$ et le second vers $u'(a)$.