Point d'inflexion

7.1 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$, où $a$ est un réel de $I$ qui n'est pas une borne de $I$. On dit que $A$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$.

En un point d'inflexion, la fonction change de convexité : elle passe de concave à convexe, ou de convexe à concave.

7.2 Avec la dérivée seconde

Propriété. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$. Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ est un point d'inflexion.

Exemple 21. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. D'après l'exemple 19, $f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe : le point $A(1\,;0)$ est un point d'inflexion ($f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$).

Vérifions que la courbe traverse sa tangente. $f'(1) = 3 - 6 = -3$, donc la tangente en $A$ a pour équation $y = -3(x - 1)$, soit $y = -3x + 3$. L'écart vaut $f(x) - (-3x + 3) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3,$ négatif si $x < 1$ (courbe sous la tangente) et positif si $x > 1$ (courbe au-dessus) : la courbe traverse bien sa tangente en $A$.

7.3 Un piège : $f''(a) = 0$ ne suffit pas

Pour $f(x) = x^4$, $f''(x) = 12x^2$, qui s'annule en $0$. Mais $f''(x) \geq 0$ pour tout réel $x$ : $f''$ ne change pas de signe. La fonction est convexe sur $\mathbb{R}$, sa courbe reste au-dessus de sa tangente en $0$ (l'axe des abscisses) : l'origine n'est pas un point d'inflexion.

7.4 Exemple : la courbe en cloche

Exemple 22. $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ (exemple 12). On dérive $f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}$ comme un produit : $f''(x) = -2\,\mathrm{e}^{-x^2} + (-2x)(-2x)\,\mathrm{e}^{-x^2} = \left(4x^2 - 2\right)\mathrm{e}^{-x^2}.$ Comme $\mathrm{e}^{-x^2} > 0$, $f''(x)$ a le signe de $4x^2 - 2 = 2\left(2x^2 - 1\right)$, qui s'annule en $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\dfrac{\sqrt2}{2}$ en changeant de signe.

$x$	$-\infty$		$-\frac{\sqrt2}{2}$		$\frac{\sqrt2}{2}$		$+\infty$
$f''(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
convexité de $f$		convexe		concave		convexe

La courbe a deux points d'inflexion, d'abscisses $\pm\dfrac{\sqrt2}{2} \approx \pm 0{,}707$ et d'ordonnée $\mathrm{e}^{-1/2} \approx 0{,}607$. Le « dôme » de la cloche est concave ; ses deux « pieds » sont convexes.

7.5 Lire la convexité sur les courbes de $f$, $f'$ et $f''$

Attention aux confusions. Sur la courbe de $f'$, le signe de $f'$ donne les variations de $f$, et les variations de $f'$ donnent la convexité de $f$. Ce sont deux lectures différentes.

Exemple 23. Pour $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ : la courbe de $f'(x) = 3x^2 - 6x$ est une parabole dont le sommet a pour abscisse $1$ ; $f'$ est décroissante puis croissante, donc $f$ est concave puis convexe. La courbe de $f''(x) = 6x - 6$ est une droite qui coupe l'axe des abscisses en $1$. Les trois lectures donnent le même point d'inflexion, d'abscisse $1$.

7.6 Esquisser une courbe à partir de tableaux

Le programme demande d'esquisser l'allure de la courbe de $f$ à partir des tableaux de variations de $f$, de $f'$ ou de $f''$. On combine deux informations : le sens de variation de $f$ (signe de $f'$) et sa convexité (variations de $f'$ ou signe de $f''$).

Exemple 24. Une fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, et $f'$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$ puis décroissante sur $[0\,;+\infty[$. Alors $f$ est convexe sur $]-\infty\,;0]$ et concave sur $[0\,;+\infty[$ : la courbe monte toujours, d'abord de plus en plus vite, puis de moins en moins vite. Le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion, là où la pente est la plus forte. C'est l'allure d'une courbe en « S ».

7.7 En contexte : le moment où la croissance est la plus rapide

Au lycée, la nouvelle d'un concert gratuit se répand parmi les $1200$ élèves. Le nombre d'élèves au courant, $t$ heures après l'annonce, est modélisé par $R(t) = \frac{1200}{1 + \mathrm{e}^{3 - t}}, \qquad t \geq 0.$

• $R(0) = \dfrac{1200}{1 + \mathrm{e}^3} \approx 57$, et $\lim\limits_{t\to+\infty} R(t) = 1200$, car $\mathrm{e}^{3 - t} \to 0$.
• On peut calculer $R'(t) = \dfrac{1200\,\mathrm{e}^{3 - t}}{\left(1 + \mathrm{e}^{3 - t}\right)^2} > 0$ et $R''(t) = \dfrac{1200\,\mathrm{e}^{3 - t}\left(\mathrm{e}^{3 - t} - 1\right)}{\left(1 + \mathrm{e}^{3 - t}\right)^3}$.
• $R''(t)$ a le signe de $\mathrm{e}^{3 - t} - 1$, positif si $t < 3$ et négatif si $t > 3$ (la fonction exponentielle est strictement croissante et $\mathrm{e}^0 = 1$). La fonction $R$ est convexe sur $[0\,;3]$ et concave sur $[3\,;+\infty[$ : le point $(3\,;600)$ est un point d'inflexion.

Interprétation. $R'(t)$ est la vitesse de propagation, en élèves par heure. Elle augmente tant que $R$ est convexe et diminue ensuite : elle est maximale au point d'inflexion, au bout de $3$ heures, où elle vaut $R'(3) = \dfrac{1200}{4} = 300$ élèves par heure.