Angles associés

Les symétries du cercle donnent toutes les autres valeurs, sans calcul. On lit tout sur le cercle.

6.1 Symétrie par rapport à l'axe des abscisses

Le symétrique de l'image de $x$ par rapport à l'axe des abscisses est l'image de $-x$ : on a tourné du même angle, dans l'autre sens. Les deux points ont la même abscisse et des ordonnées opposées. Pour tout réel $x$ : $\cos(-x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(-x) = -\sin x.$

Exemple 13. $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

6.2 Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Le symétrique de l'image de $x$ par rapport à l'axe des ordonnées est l'image de $\pi - x$. Les deux points ont la même ordonnée et des abscisses opposées. Pour tout réel $x$ : $\sin(\pi - x) = \sin x \qquad\text{et}\qquad \cos(\pi - x) = -\cos x.$

Exemple 14. $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, donc $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$.

6.3 Symétrie par rapport à l'origine

Le symétrique de l'image de $x$ par rapport à l'origine est l'image de $\pi + x$ : on a ajouté un demi-tour. Les deux coordonnées sont opposées. Pour tout réel $x$ : $\cos(\pi + x) = -\cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(\pi + x) = -\sin x.$

Exemple 15. $\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac12$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

6.4 Lire une valeur en trois étapes

Inutile d'apprendre ces formules par cœur : le cercle les redonne.

Méthode.

1. Repérer la valeur remarquable cachée dans le réel.
2. Placer le point sur le cercle.
3. Lire les signes. Au signe près, les valeurs sont celles de la valeur remarquable.

Exemple 16. $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ : un demi-tour, puis $\dfrac{\pi}{6}$. Le point est en bas à gauche, les deux signes sont négatifs. Donc $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac12$.

Exemple 17. Trois autres lectures.

• $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ : en haut à gauche, $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac12$.
• $-\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - \pi$ : en bas à gauche, $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.
• $\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi$ : même point que $\dfrac{\pi}{3}$, $\cos\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac12$ et $\sin\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

6.5 Une dernière symétrie

La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$ échange l'abscisse et l'ordonnée. Le symétrique de l'image de $x$ est l'image de $\dfrac{\pi}{2} - x$. Pour tout réel $x$ : $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \qquad\text{et}\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.$

Comme $\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}$, les valeurs de $\dfrac{\pi}{6}$ et de $\dfrac{\pi}{3}$ s'échangent dans le tableau.