Enroulement de la droite et image d'un réel

3.1 L'enroulement

On pose la droite des réels verticalement contre le cercle trigonométrique, son zéro sur le point $I$, les nombres positifs vers le haut. On enroule la partie positive dans le sens direct, et la partie négative dans l'autre sens. Le fil ne s'étire pas : les longueurs sont conservées.

Définition. Chaque réel $x$ arrive ainsi sur un point $M$ du cercle. Ce point s'appelle l'image du réel $x$.

• Si $x > 0$, on part de $I$ et on parcourt un arc de longueur $x$ dans le sens direct.
• Si $x < 0$, on part de $I$ et on parcourt un arc de longueur $-x$ dans le sens inverse.

3.2 Premières images

On note $I'(-1\,;0)$ et $J'(0\,;-1)$.

3.3 Plusieurs réels, un même point

Ajouter $2\pi$, c'est faire un tour de plus : $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image. Il en va de même en retirant un tour.

Exemple 6. $2\pi$ a pour image $I$, comme $0$. Et $-\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi$ a la même image que $\dfrac{\pi}{2}$ : le point $J$.

À chaque réel correspond un seul point du cercle. Mais à chaque point du cercle correspondent une infinité de réels, qui diffèrent d'un nombre entier de tours. Parmi eux, un seul appartient à l'intervalle $]{-\pi}\,;\pi]$.

3.4 Placer un point

On lit le réel comme une fraction du demi-tour $\pi$.

Exemple 7.

• $\dfrac{5\pi}{6}$ : on coupe le demi-cercle du haut en $6$ parts égales et on en compte $5$ à partir de $I$.
• $\dfrac{3\pi}{4}$ : on coupe le demi-cercle du haut en $4$ parts et on en compte $3$.
• $-\dfrac{2\pi}{3}$ : on tourne dans l'autre sens. On coupe le demi-cercle du bas en $3$ parts et on en compte $2$ à partir de $I$.

3.5 Plus d'un tour

On retire les tours entiers : $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$…

Exemple 8.

• $\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi$ : même image que $\dfrac{\pi}{3}$, car $2\pi = \dfrac{6\pi}{3}$.
• $-\dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} - 2\pi$ : même image que $\dfrac{\pi}{6}$.
• $\dfrac{19\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 4\pi$ : même image que $\dfrac{3\pi}{4}$, car $4\pi = \dfrac{16\pi}{4}$.

Méthode pour placer un point.

1. Retirer les tours entiers.
2. Lire le réel obtenu comme une fraction de $\pi$.
3. Tourner dans le sens direct s'il est positif, dans l'autre sens s'il est négatif.