Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc

2.1 Le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on note $I(1\,;0)$ et $J(0\,;1)$.

Définition. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Son périmètre vaut $2 \times \pi \times 1 = 2\pi$.

2.2 La longueur d'un arc

Sur ce cercle, la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre qui le découpe.

2.3 Le radian

Définition. Un radian est la mesure de l'angle au centre qui découpe, sur un cercle, un arc de même longueur que le rayon.

Sur le cercle trigonométrique, le rayon vaut $1$ : la mesure en radians d'un angle est la longueur de l'arc qu'il découpe. Un tour complet mesure $2\pi$ radians, et un radian vaut environ $57^\circ$.

2.4 Degrés et radians

La mesure en degrés et la mesure en radians sont proportionnelles : $180^\circ$ correspondent à $\pi$ radians.

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$. Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$.

Exemple 4. $150^\circ = 150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ radians. Dans l'autre sens, $\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 135$ : $\dfrac{3\pi}{4}$ radians font $135^\circ$.

Automatisme. Le tableau ci-dessus se sait par cœur. Les autres angles s'en déduisent : $120^\circ = 2 \times 60^\circ$, donc $120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$ radians.

2.5 Sur un cercle de rayon $R$

L'arc grandit dans la même proportion que le rayon. Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de mesure $\alpha$ en radians découpe un arc de longueur $\ell = R \times \alpha.$

Exemple 5 (l'horloge). L'aiguille des minutes d'une horloge de gare mesure $60$ centimètres. En $20$ minutes, elle fait un tiers de tour, soit un angle de $\dfrac{2\pi}{3}$ radians. Son extrémité parcourt $\ell = 60 \times \frac{2\pi}{3} = 40\pi \approx 126 \text{ centimètres}.$