Cosinus et sinus d'un nombre réel

4.1 La définition

Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse de $M$. Le sinus de $x$, noté $\sin x$, est l'ordonnée de $M$ : $M(\cos x\,;\sin x).$

Le cosinus se lit sur l'axe horizontal, le sinus sur l'axe vertical. Cette définition vaut pour tout réel $x$, positif ou négatif.

4.2 Les valeurs sur les axes

4.3 Encadrement et signes

Le point $M$ reste sur le cercle. Pour tout réel $x$, $-1 \leq \cos x \leq 1 \qquad\text{et}\qquad -1 \leq \sin x \leq 1.$

Les signes se lisent sur les quatre quarts du cercle.

Exemple 9. On a $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 2 < 3{,}14 \approx \pi$ : le point image de $2$ est en haut à gauche. Donc $\cos 2 < 0$ et $\sin 2 > 0$.

4.4 Même image, mêmes valeurs

Deux réels qui ont la même image ont le même cosinus et le même sinus, puisque c'est le même point.

Exemple 10. $5\pi = \pi + 4\pi$ a pour image $I'$, donc $\cos 5\pi = -1$. Et $\dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 4\pi$ a pour image $J$, donc $\sin\dfrac{9\pi}{2} = 1$.

4.5 Le lien avec le triangle rectangle

Soit $x$ un réel tel que $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, et $M$ son image. Soit $H$ le point de l'axe des abscisses situé juste sous $M$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, son hypoténuse mesure $OM = 1$, et son angle en $O$ mesure $x$ radians. Alors $\cos x = \frac{OH}{OM} = OH \qquad\text{et}\qquad \sin x = \frac{HM}{OM} = HM.$ On retrouve l'abscisse et l'ordonnée de $M$ : les deux définitions sont d'accord. Ainsi, $\cos 60^\circ$ et $\cos\dfrac{\pi}{3}$ sont le même nombre.

4.6 La relation, pour tout réel

Pour tout réel $x$, le point $M(\cos x\,;\sin x)$ est à la distance $1$ de l'origine. En écrivant cette distance avec les coordonnées : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$

Exemple 11. On suppose que $\cos x = -\dfrac35$ et $\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$. Alors $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. Dans ce quart du cercle, $\sin x \geq 0$, donc $\sin x = \dfrac45$.

4.7 La corde des Anciens

La trigonométrie a été utilisée chez les Anciens dans des problèmes de géométrie, de géographie et d'astronomie. Elle reposait alors sur la corde, le segment qui joint les extrémités d'un arc, bien moins facile à manier que le sinus et le cosinus d'aujourd'hui. Sur le cercle trigonométrique, la corde d'un arc de longueur $2x$, pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, vaut $2\sin x$.