Sens de variation d'une suite

5.1 Définitions

Définitions. Une suite $(u_n)$ est :

• croissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \geq u_n$ ;
• décroissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \leq u_n$ ;
• strictement croissante ou décroissante, si l'inégalité est stricte ;
• constante si tous ses termes sont égaux ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante.

On dit aussi qu'une suite est croissante à partir du rang $n_0$ si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout entier $n \geq n_0$.

5.2 Première méthode : le signe de la différence

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. C'est la méthode la plus générale.

Exemple 12. Soit $u_n = n^2 - 6n + 1$. $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 6(n+1) + 1 - n^2 + 6n - 1 = 2n - 5.$ Cette différence est négative pour $n = 0$, $1$ et $2$, positive à partir de $n = 3$. Les premiers termes sont $1$, $-4$, $-7$, $-8$, $-7$, $-4$, $1$ : la suite décroît, puis elle est croissante à partir du rang $3$.

5.3 Deuxième méthode : une fonction monotone

Propriété. Si $u_n = f(n)$ et si $f$ est monotone sur $[0\,;+\infty[$, alors $(u_n)$ a le même sens de variation que $f$.

Exemple 13. Soit $v_n = 4 - 3n$. La fonction $f$ est affine, de coefficient $-3 < 0$, donc elle est décroissante : la suite est décroissante.

Exemple 14. Soit $w_n = 2(n - 1)^2 + 3$. Cette forme canonique montre que $f$ est croissante sur $[1\,;+\infty[$ : la suite est croissante à partir du rang $1$. Ses premiers termes sont $5$, $3$, $5$, $11$.

5.4 Troisième méthode : le quotient

Si tous les termes sont strictement positifs, on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ :

• si le quotient est supérieur ou égal à $1$ pour tout $n$, la suite est croissante ;
• s'il est inférieur ou égal à $1$ pour tout $n$, la suite est décroissante.

Exemple 15. Soit $t_n = \dfrac{n + 1}{2^n}$. Tous les termes sont strictement positifs, et $\frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{n + 2}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n + 1} = \frac{n + 2}{2n + 2}.$ Pour tout entier naturel $n$, $n + 2 \leq 2n + 2$, donc ce quotient est inférieur ou égal à $1$ : la suite est décroissante.

5.5 Le cas des suites définies par récurrence

On regarde aussi la différence.

Exemple 16. Si $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{n + 1}$, alors $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n + 1} > 0$ : la suite est strictement croissante.

Attention. Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas celui de la suite. Avec $f(x) = \dfrac12 x + 2$, qui est croissante :

5.6 Le contraire de « croissante »

« Croissante » signifie : pour tout entier $n$, $u_{n+1} \geq u_n$. La négation de cette phrase est : $\text{il existe un entier } n \text{ tel que } u_{n+1} < u_n.$

Un seul contre-exemple suffit donc à prouver qu'une suite n'est pas croissante.

Attention. « Non croissante » ne veut pas dire « décroissante ». La suite $u_n = (-1)^n$ vaut $1, -1, 1, -1\ldots$ Elle n'est ni croissante ni décroissante : elle n'est pas monotone.