Représenter une suite

4.1 Le nuage de points

Définition. On représente une suite $(u_n)$ par les points de coordonnées $(n\,;u_n)$ dans un repère. L'abscisse est le rang, l'ordonnée est la valeur du terme.

On ne relie pas les points : la suite n'existe que pour les entiers.

Exemple 10. Soit $u_n = \dfrac12 n^2 - 3n + 6$. On trouve $u_0 = 6$, $u_1 = 3{,}5$, $u_2 = 2$, $u_3 = 1{,}5$, $u_4 = 2$, $u_5 = 3{,}5$ et $u_6 = 6$. Les points sont sur la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac12 x^2 - 3x + 6$.

4.2 Lire un graphique

Sur le nuage de l'exemple 10 :

• une image : le point d'abscisse $3$ a pour ordonnée $1{,}5$, donc $u_3 = 1{,}5$ ;
• des antécédents : $u_n = 3{,}5$ pour $n = 1$ et $n = 5$ ;
• des variations : les termes diminuent jusqu'au rang $3$, puis augmentent.

Automatisme. Sur un graphique, on commence par repérer les axes, les unités et l'origine. Lire une image se fait de l'abscisse vers l'ordonnée, chercher un antécédent se fait de l'ordonnée vers l'abscisse.

4.3 Une suite définie par récurrence

Sans formule en $n$, on calcule les termes l'un après l'autre, puis on place les points.

Exemple 11. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 2$. On trouve $1$ ; $2{,}5$ ; $3{,}25$ ; $3{,}625$ ; $3{,}8125$. Les points montent de moins en moins vite, et semblent se rapprocher de la droite d'équation $y = 4$.

4.4 La construction en escalier

Pour une relation $u_{n+1} = f(u_n)$, une autre construction lit directement la relation. On parle de construction en escalier.

1. On trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$.
2. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
3. On monte jusqu'à la courbe de $f$ : l'ordonnée du point atteint est $f(u_0) = u_1$.
4. On se déplace à l'horizontale jusqu'à la droite $y = x$ : l'abscisse devient $u_1$.
5. On redescend sur l'axe pour placer $u_1$.
6. On recommence à partir de $u_1$.

Les termes s'alignent sur l'axe des abscisses. Avec $f(x) = \dfrac12 x + 2$ :

• en partant de $u_0 = 1$, les termes montent et s'approchent de $4$ ;
• en partant de $u_0 = 7$, on trouve $7$ ; $5{,}5$ ; $4{,}75$ ; $4{,}375$ : les termes descendent et s'approchent aussi de $4$.

Le nombre $4$ est l'abscisse du point d'intersection de la courbe de $f$ et de la droite $y = x$.

Attention. Cette construction sert à conjecturer. Elle ne démontre rien.

4.5 Trois registres

Une même suite se décrit dans trois registres, et il faut savoir passer de l'un à l'autre.