Devoir sur 20 : Suites numériques · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Soit $u_n = 3n^2 - 1$ . Calculer $u_4$ .
Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Calculer $u_2$ .
Soit $u_n = 5n - 2$ . Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ .
Donner le contenu de la liste [2 * n for n in range(4)].
La suite $u_n = 3 - 2n$ est-elle croissante ou décroissante ?
Une quantité de $50$ tonnes baisse de $20\,\%$ . Quelle est la nouvelle quantité ?

Exercice 1 : un château de cartes (5 points)

On construit un château de cartes à $n$ étages : des paires de cartes appuyées l'une contre l'autre, et des cartes posées à plat entre deux étages. On note $c_n$ le nombre de cartes d'un château à $n$ étages. On a $c_1 = 2$ , $c_2 = 7$ et $c_3 = 15$ .

Pour passer de $n$ à $n + 1$ étages, on ajoute $3n + 2$ cartes.

Écrire la relation entre $c_{n+1}$ et $c_n$ , puis calculer $c_4$ . (1 point)
Montrer que la suite $(c_n)$ est strictement croissante. (1 point)
On admet que $c_n = \dfrac{n(3n + 1)}{2}$ . Vérifier cette formule pour $n = 3$ , puis calculer $c_{10}$ . (1 point)
Montrer que $c_{n+1} - c_n = 3n + 2$ à partir de cette formule. (1 point)
Avec un jeu de $52$ cartes, combien d'étages peut-on construire au plus ? (1 point)

Exercice 2 : le sel de déneigement (7 points)

En hiver, une commune dispose de $40$ tonnes de sel. Chaque semaine, elle utilise la moitié de son stock, puis elle reçoit une livraison de $60$ tonnes. On note $u_n$ le stock, en tonnes, au bout de $n$ semaines, avec $u_0 = 40$ .

Justifier que $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 60$ , puis calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ . (1,5 point)
Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. (1 point)
Expliquer, à l'aide de la situation, pourquoi le nombre conjecturé est cohérent. (1 point)
Vérifier que $u_{n+1} - u_n = 0{,}5\,(120 - u_n)$ . En déduire le signe de $u_{n+1} - u_n$ lorsque $u_n \leq 120$ . (1 point)
On considère la fonction suivante.
```
def seuil(s):
    n = 0
    u = 40
    while u < s:
        u = 0.5 * u + 60
        n = n + 1
    return n
```
a. Que renvoie seuil(115) ? Que signifie ce résultat dans la situation ? (1 point)
b. Sachant que $u_6 = 118{,}75$ et $u_7 = 119{,}375$ , que renvoie seuil(119) ? (0,5 point)
c. Que se passe-t-il si l'on demande seuil(130) ? (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1

$u_4 = 3 \times 16 - 1 = 47$ .
$u_1 = 7$ , puis $u_2 = 2 \times 7 + 3 = 17$ .
$u_{n+1} = 5(n + 1) - 2 = 5n + 3$ .
[0, 2, 4, 6]
Décroissante : $u_{n+1} - u_n = -2 < 0$ .
$50 \times 0{,}8 = 40$ tonnes.

Exercice 1

1. (1 pt) $c_{n+1} = c_n + 3n + 2$ . Donc $c_4 = c_3 + 3 \times 3 + 2 = 15 + 11 = 26$ .

2. (1 pt) Pour tout entier $n \geq 1$ , $c_{n+1} - c_n = 3n + 2 > 0$ . La suite est donc strictement croissante.

3. (1 pt) Pour $n = 3$ : $\dfrac{3 \times 10}{2} = 15$ , ce qui est bien $c_3$ . Puis $c_{10} = \dfrac{10 \times 31}{2} = 155$ .

4. (1 pt) $c_{n+1} - c_n = \dfrac{(n + 1)(3n + 4) - n(3n + 1)}{2} = \dfrac{3n^2 + 7n + 4 - 3n^2 - n}{2} = \dfrac{6n + 4}{2} = 3n + 2$ .

5. (1 pt) La suite est croissante, $c_5 = \dfrac{5 \times 16}{2} = 40$ et $c_6 = \dfrac{6 \times 19}{2} = 57$ . Comme $40 \leq 52 < 57$ , on peut construire au plus $5$ étages.

Exercice 2

1. (1,5 pt) Utiliser la moitié du stock, c'est multiplier par $0{,}5$ . On ajoute ensuite les $60$ tonnes livrées. Donc $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 60$ . On trouve $u_1 = 80$ , $u_2 = 100$ , $u_3 = 110$ et $u_4 = 115$ .

2. (1 pt) Les termes augmentent : la suite semble croissante. Les écarts entre les termes se réduisent de moitié à chaque fois ( $40$ , $20$ , $10$ , $5$ ) : la suite semble tendre vers $120$ .

3. (1 pt) Lorsque le stock vaut $120$ tonnes, la commune en utilise la moitié, soit $60$ tonnes, et elle en reçoit $60$ : le stock ne change plus.

4. (1 pt) $u_{n+1} - u_n = 0{,}5\,u_n + 60 - u_n = 60 - 0{,}5\,u_n = 0{,}5\,(120 - u_n)$ . Si $u_n \leq 120$ , alors $120 - u_n \geq 0$ , donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ .

5.a (1 pt) $u_3 = 110 < 115$ et $u_4 = 115$ : la boucle s'arrête dès que $u \geq 115$ , donc seuil(115) renvoie $4$ . Au bout de $4$ semaines, le stock atteint pour la première fois au moins $115$ tonnes.

5.b (0,5 pt) $u_6 = 118{,}75 < 119$ et $u_7 = 119{,}375 \geq 119$ : seuil(119) renvoie $7$ .

5.c (1 pt) Si la suite tend vers $120$ en restant en dessous, le stock n'atteint jamais $130$ tonnes. La condition u < 130 reste toujours vraie : la boucle ne s'arrête pas.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion aux questions 5 de chaque exercice, avec l'unité ; les mots justes (terme, rang, conjecture, seuil, strictement croissante) ; la distinction entre ce qui est conjecturé et ce qui est démontré ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).