Formule avec le cosinus, caractérisation de l'orthogonalité

3.1 La formule

Soit $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ leur angle.

Si $\theta$ est aigu, $H$ est du côté de $B$ et le triangle $AHC$ est rectangle en $H$. Donc $AH = AC\cos\theta$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH = AB \times AC \times \cos\theta.$

Si $\theta$ est obtus, $H$ est de l'autre côté de $A$, et l'angle en $A$ du triangle $AHC$ mesure $\pi - \theta$. Donc $AH = AC\cos(\pi - \theta) = -AC\cos\theta$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -AB \times AH = AB \times AC \times \cos\theta.$

La formule reste vraie pour $\theta = \dfrac{\pi}{2}$, où tout est nul, et pour $\theta = 0$ ou $\theta = \pi$, où $H = C$.

Propriété. Pour deux vecteurs non nuls, d'angle $\theta$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta.$

3.2 Symétrie et carré scalaire

La formule ne dépend pas de l'ordre des vecteurs : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. On dit que le produit scalaire est symétrique.

Avec $\vec{v} = \vec{u}$, l'angle vaut $0$ et son cosinus vaut $1$. Donc $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert\vec{u}\rVert^2,$ ce qu'on appelle le carré scalaire de $\vec{u}$. En particulier, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2$.

3.3 Calculs

Exemple 6. Si $\lVert\vec{u}\rVert = 4$, $\lVert\vec{v}\rVert = 5$ et $\theta = \dfrac{\pi}{3}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 5 \times \dfrac12 = 10$. Avec $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$, on obtient $20 \times \left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -10\sqrt2$.

Exemple 7. Dans un triangle équilatéral $ABC$ de côté $4$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 \times \dfrac12 = 8$. Mais $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ se suivent : leur angle vaut $\dfrac{2\pi}{3}$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \times 4 \times \left(-\dfrac12\right) = -8$.

3.4 Trouver un angle

Pour deux vecteurs non nuls : $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert}.$

Exemple 8. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$, $\lVert\vec{u}\rVert = 2$ et $\lVert\vec{v}\rVert = 3\sqrt2$, alors $\cos\theta = \dfrac{6}{6\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$. Comme $\theta \in [0\,;\pi]$, on a $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

3.5 Orthogonalité

Définition. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leur angle vaut $\dfrac{\pi}{2}$. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. On note $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Propriété (caractérisation de l'orthogonalité). $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.$

C'est une équivalence, il y a deux sens à justifier.

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, soit l'un d'eux est nul et le produit vaut $0$ par convention, soit $\cos\theta = 0$ et le produit est nul.
• Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, soit l'un des vecteurs est nul, soit $\cos\theta = 0$, ce qui donne $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ puisque $\theta \in [0\,;\pi]$.

Méthode. Pour démontrer que deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires, on montre que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.

3.6 Le travail d'une force

En physique, le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement de $A$ à $B$ est le produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}$, en joules si la force est en newtons et la distance en mètres.

Exemple 9 (la valise). On tire une valise sur $10$ mètres, avec une force de $30$ newtons inclinée de $60^\circ$ par rapport au sol. Alors $W = 30 \times 10 \times \cos 60^\circ = 150$ joules. Seule l'ombre de la force, $30 \times \dfrac12 = 15$ newtons vers l'avant, fait avancer la valise. L'autre partie est orthogonale au déplacement : elle ne travaille pas.