Reconnaitre une équation de cercle : centre et rayon

6.1 Compléter les carrés

On part de l'identité du chapitre 1 : $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$.

• $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$
• $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$

6.2 La méthode

1. Regrouper les termes en $x$ et les termes en $y$.
2. Compléter chaque carré.
3. Faire passer les nombres à droite.
4. Lire le centre et le rayon : le rayon est la racine carrée du membre de droite.

Exemple 24 (un feu d'artifice). Pour un feu d'artifice, le bord de la zone de sécurité a pour équation $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$, dans un repère gradué en hectomètres. $\left(x^2 - 6x\right) + \left(y^2 + 4y\right) - 3 = 0$ $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ C'est le cercle de centre $(3\,;-2)$ et de rayon $4$. Le pas de tir est en $(3\,;-2)$ et la zone a un rayon de $400$ mètres.

Exemple 25. Pour $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$ : $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$ et $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$. Donc $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 16 + 1 - 8 = 9$. C'est le cercle de centre $(-4\,;1)$ et de rayon $3$, et non $9$.

6.3 Trois cas

Une fois les carrés complétés, on a une égalité $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$.

Exemple 26.

• $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$ équivaut à $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$. Une somme de carrés n'est nulle que si chacun est nul : il ne reste que le point $(1\,;-2)$.
• $x^2 + y^2 + 6y + 10 = 0$ équivaut à $x^2 + (y + 3)^2 = -1$. Une somme de carrés n'est jamais négative : l'ensemble est vide.

6.4 La bonne forme

Dans une équation de cercle développée, $x^2$ et $y^2$ ont le même coefficient, et il n'y a pas de terme en $xy$. Si ce coefficient n'est pas $1$, on divise d'abord.

Exemple 27. $2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y - 8 = 0$ équivaut à $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$, soit $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$. C'est le cercle de centre $(1\,;-2)$ et de rayon $3$.

En revanche, $x^2 + 2y^2 = 1$ n'est pas une équation de cercle.

6.5 Un paramètre

Un paramètre est une lettre qui désigne un nombre fixé. On étudie alors ce qui se passe selon sa valeur.

Exemple 28. Soit $m$ un réel. L'équation $x^2 + y^2 - 2x + 4y + m = 0$ équivaut à $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 - m$.

• Si $m < 5$, c'est le cercle de centre $(1\,;-2)$ et de rayon $\sqrt{5 - m}$.
• Si $m = 5$, c'est le point $(1\,;-2)$.
• Si $m > 5$, l'ensemble est vide.