Rappels : équation cartésienne et vecteur directeur

1.1 Trois automatismes

Pour deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ :

• le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ ;
• la distance $AB$ vaut $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ ;
• le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Exemple 1. Pour $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;4)$ : $\overrightarrow{AB}\,(4\,;3)$, $AB = \sqrt{16 + 9} = 5$, et le milieu de $[AB]$ est $I\left(1\,;\dfrac52\right)$.

1.2 Vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $d$. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige $d$.

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires : si $\vec{u}$ convient, alors $k\vec{u}$ convient aussi pour tout réel $k$ non nul.

1.3 Équation cartésienne

Soit $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$. Un point $M(x\,;y)$ est sur $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

Exemple 2. Soit $d$ la droite passant par $A(-1\,;1)$, dirigée par $\vec{u}\,(4\,;3)$. On a $\overrightarrow{AM}\,(x + 1\,;y - 1)$. Le déterminant s'écrit $3(x + 1) - 4(y - 1)$. Donc $M \in d \iff 3(x + 1) - 4(y - 1) = 0 \iff 3x - 4y + 7 = 0.$

Propriété. Toute droite a une équation de la forme $ax + by + c = 0$, où $a$ et $b$ ne sont pas nuls tous les deux. C'est une équation cartésienne. Réciproquement, une telle équation décrit une droite, et le vecteur $\vec{u}\,(-b\,;a)$ en est un vecteur directeur.

L'équation n'est pas unique : en multipliant tous les coefficients par un même nombre non nul, on obtient une équation de la même droite. Ainsi, $3x - 4y + 7 = 0$ et $6x - 8y + 14 = 0$ décrivent la même droite.

1.4 Tester un point

Un point est sur une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation. C'est le sens même de l'expression « ensemble des points défini par une équation ».

Exemple 3. Avec $d : 3x - 4y + 7 = 0$.

• Pour $P(3\,;4)$ : $3 \times 3 - 4 \times 4 + 7 = 0$, donc $P \in d$.
• Pour $Q(1\,;3)$ : $3 - 12 + 7 = -2 \neq 0$, donc $Q \notin d$.

1.5 Équation réduite

Si $b \neq 0$, on peut isoler $y$. On obtient l'équation réduite $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Le vecteur $(1\,;m)$ dirige la droite.

Si $b = 0$, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation s'écrit $x = k$ et elle n'a pas de coefficient directeur.

Exemple 4. De $3x - 4y + 7 = 0$, on tire $4y = 3x + 7$, donc $y = \dfrac34 x + \dfrac74$.

Automatisme. Avec deux points, $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Pour $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;4)$ : $m = \dfrac{4 - 1}{3 - (-1)} = \dfrac34$.

1.6 Tracer une droite

Deux points suffisent.

Exemple 5.

• Pour $2x + y - 4 = 0$ : si $x = 0$, alors $y = 4$ ; si $y = 0$, alors $x = 2$. La droite passe par $(0\,;4)$ et $(2\,;0)$.
• Pour $y = -\dfrac12 x + 3$ : on part de $(0\,;3)$, on avance de $2$ et on descend de $1$. La droite passe aussi par $(2\,;2)$.