Projeté orthogonal d'un point sur une droite

4.1 Rappel

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH)$ soit perpendiculaire à $d$. Si $M$ est sur $d$, alors $H = M$.

C'est le point de $d$ le plus proche de $M$. En effet, si $N$ est un autre point de $d$, le triangle $MHN$ est rectangle en $H$, donc $MN^2 = MH^2 + HN^2$ et $MN > MH$. La longueur $MH$ s'appelle la distance du point $M$ à la droite $d$.

4.2 La méthode

1. Perpendiculaire. Écrire une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $d$ passant par $M$ : un vecteur directeur de $d$ est un vecteur normal de $\Delta$.
2. Intersection. Résoudre le système formé par les équations de $d$ et de $\Delta$ : sa solution donne les coordonnées de $H$.
3. Vérification. Contrôler que $H$ est sur $d$ et que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$. Calculer $MH$ si l'énoncé le demande.

4.3 Résoudre un système

Les coordonnées du point d'intersection de deux droites vérifient les deux équations à la fois. On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l'autre.

Exemple 15. Intersection de $2x + 3y - 7 = 0$ et de $3x - 2y - 4 = 0$. Dans la seconde équation, on isole $y$ : $y = \dfrac{3x - 4}{2}$. On remplace dans la première : $2x + \dfrac{3(3x - 4)}{2} - 7 = 0$. En multipliant par $2$ : $4x + 9x - 12 - 14 = 0$, soit $13x = 26$. Donc $x = 2$, puis $y = \dfrac{6 - 4}{2} = 1$. Les droites se coupent en $(2\,;1)$.

4.4 Un exemple complet

Exemple 16. Soit $d : x + 2y - 4 = 0$ et $M(4\,;5)$.

Étape 1. Le vecteur $\vec{u}\,(-2\,;1)$ dirige $d$, donc il est normal à $\Delta$. Une équation de $\Delta$ est de la forme $-2x + y + c = 0$. Avec $M$ : $-8 + 5 + c = 0$, donc $c = 3$. Ainsi, $\Delta : -2x + y + 3 = 0$.

Étape 2. Dans l'équation de $\Delta$, on isole $y$ : $y = 2x - 3$. On remplace dans celle de $d$ : $x + 2(2x - 3) - 4 = 0$, soit $5x - 10 = 0$. Donc $x = 2$, puis $y = 1$. Le projeté orthogonal est $H(2\,;1)$.

Étape 3. On a $2 + 2 \times 1 - 4 = 0$, et $\overrightarrow{MH}\,(-2\,;-4)$ vérifie $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 4 - 4 = 0$. La distance de $M$ à $d$ vaut $MH = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$.

4.5 Un raccourci avec une équation réduite

Si $d : y = mx + p$, le point $H$ s'écrit $H(x\,;mx + p)$ : il n'y a qu'une inconnue. On annule le produit scalaire de $\overrightarrow{MH}$ par le vecteur directeur $(1\,;m)$.

Exemple 17. Soit $d : y = 2x + 1$ et $M(6\,;3)$. On pose $H(x\,;2x + 1)$. Alors $\overrightarrow{MH}\,(x - 6\,;2x - 2)$ et $\vec{u}\,(1\,;2)$ donnent $(x - 6) + 2(2x - 2) = 5x - 10 = 0.$ Donc $x = 2$ et $H(2\,;5)$.

4.6 Le chalet

Exemple 18. Un chalet doit être raccordé à une ligne électrique rectiligne. On place le chalet à l'origine, l'unité vaut cent mètres, et la ligne a pour équation $3x + 4y - 25 = 0$.

La ligne est dirigée par $(4\,;-3)$, donc la perpendiculaire passant par $O$ a pour équation $4x - 3y = 0$, soit $y = \dfrac43 x$. En remplaçant : $3x + \dfrac{16}{3}x = 25$, soit $\dfrac{25}{3}x = 25$. Donc $x = 3$, puis $y = 4$.

Le raccordement se fait au point $(3\,;4)$, et le câble mesure $\sqrt{9 + 16} = 5$ unités, soit $500$ mètres.

Automatisme. Le projeté de $M(x\,;y)$ sur l'axe des abscisses est $(x\,;0)$, et sur l'axe des ordonnées, $(0\,;y)$. Sur une droite $x = k$, c'est $(k\,;y)$ ; sur une droite $y = k$, c'est $(x\,;k)$.