Rappels de Première sur les suites

1.1 Deux façons de définir une suite

Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel $u_n$, appelé terme de rang $n$. On la définit souvent de deux façons.

• De façon explicite, $u_n = f(n)$ : on calcule directement n'importe quel terme. Avec $u_n = 3n - 1$, on a $u_0 = -1$, $u_1 = 2$ et $u_{10} = 3 \times 10 - 1 = 29$.
• Par récurrence : on donne le premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ qui permet de passer d'un terme au suivant. Avec $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n - 1$, on obtient $v_1 = 5$, $v_2 = 14$, $v_3 = 41$. Pour calculer $v_3$, il faut d'abord $v_1$ puis $v_2$.

On représente une suite par les points de coordonnées $(n\,;u_n)$ dans un repère.

1.2 Suites arithmétiques

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$.

Terme général. Pour tout $n$ : $u_n = u_0 + nr$, et plus généralement $u_n = u_p + (n - p)r$ pour tous entiers $n$ et $p$.

C'est le modèle des évolutions à accroissements constants. Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés : c'est le lien avec les fonctions affines.

Sommes. Pour tout entier $n \geq 1$ : $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$ Plus généralement, une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$

Exemple 1. Une lycéenne met $20$ € de côté le premier mois, puis, chaque mois, $5$ € de plus que le mois précédent. Le montant du mois $n$ ($n \geq 1$) est une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 20$ et de raison $5$ : $u_n = 20 + 5(n - 1) = 15 + 5n.$ Le douzième mois, elle met de côté $u_{12} = 20 + 5 \times 11 = 75$ €. Sur un an, elle économise, en euros, $u_1 + u_2 + \cdots + u_{12} = 12 \times \frac{20 + 75}{2} = 570.$

1.3 Suites géométriques

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que $u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$.

Terme général. Pour tout $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$, et plus généralement $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

C'est le modèle des évolutions à taux constant : une hausse de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$.

Sommes. Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n$ : $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Exemple 2. On place $1\,000$ € à intérêts composés, au taux de $3\,\%$ par an. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$. Le capital au bout de $n$ années est une suite géométrique : $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$. On trouve $C_1 = 1\,030$, $C_2 = 1\,060{,}90$, $C_3 \approx 1\,092{,}73$, et au bout de dix ans $C_{10} = 1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,343{,}92$ €.

Exemple 3. $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2\,047$.

1.4 Sens de variation

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante ; constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.

On dit aussi qu'une suite est croissante à partir d'un rang $n_0$ si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \geq n_0$.

Méthodes.

1. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
2. Si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0\,;+\infty[$, la suite a le même sens de variation que $f$.
3. Suite arithmétique : croissante si $r \geq 0$, décroissante si $r \leq 0$.
4. Suite géométrique avec $u_0 > 0$ et $q > 0$ : comme $u_{n+1} - u_n = u_0\,q^n(q - 1)$, elle est croissante si $q > 1$ et décroissante si $0 < q < 1$ (strictement dans les deux cas).

Exemple 4. Étudier le sens de variation de $u_n = n^2 - 4n$.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - n^2 + 4n = 2n - 3.$ Cette différence est négative pour $n = 0$ et $n = 1$, positive pour $n \geq 2$. Les premiers termes sont $0$, $-3$, $-4$, $-3$, $0$, $5$ : la suite décroît jusqu'au rang $2$, puis elle est croissante à partir du rang $2$. Autre méthode : $u_n = f(n)$ avec $f(x) = x^2 - 4x$, dont la dérivée $2x - 4$ est positive sur $[2\,;+\infty[$.

Attention. La méthode 2 ne vaut que pour $u_n = f(n)$. Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas celui de la suite.

Exemple 5. Avec $f(x) = \dfrac12 x + 3$, qui est croissante :

• si $u_0 = 0$, on obtient $0$, $3$, $\frac92$, $\frac{21}{4}$… : les premiers termes montent ;
• si $u_0 = 10$, on obtient $10$, $8$, $7$, $\frac{13}{2}$… : les premiers termes descendent.

Pour conclure sur le sens de variation, il faut une démonstration : ce sera la leçon 5, grâce au raisonnement par récurrence.