Récurrence et suites

Leçon 1 : Rappels de Première sur les suites

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Deux façons de définir une suite

Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel $u_n$, appelé terme de rang $n$. On la définit souvent de deux façons.

• De façon explicite, $u_n = f(n)$ : on calcule directement n'importe quel terme. Avec $u_n = 3n - 1$, on a $u_0 = -1$, $u_1 = 2$ et $u_{10} = 3 \times 10 - 1 = 29$.
• Par récurrence : on donne le premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ qui permet de passer d'un terme au suivant. Avec $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n - 1$, on obtient $v_1 = 5$, $v_2 = 14$, $v_3 = 41$. Pour calculer $v_3$, il faut d'abord $v_1$ puis $v_2$.

On représente une suite par les points de coordonnées $(n\,;u_n)$ dans un repère.

1.2 Suites arithmétiques

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$.

Terme général. Pour tout $n$ : $u_n = u_0 + nr$, et plus généralement $u_n = u_p + (n - p)r$ pour tous entiers $n$ et $p$.

C'est le modèle des évolutions à accroissements constants. Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés : c'est le lien avec les fonctions affines.

Sommes. Pour tout entier $n \geq 1$ : $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$ Plus généralement, une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$

Exemple 1. Une lycéenne met $20$ € de côté le premier mois, puis, chaque mois, $5$ € de plus que le mois précédent. Le montant du mois $n$ ($n \geq 1$) est une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 20$ et de raison $5$ : $u_n = 20 + 5(n - 1) = 15 + 5n.$ Le douzième mois, elle met de côté $u_{12} = 20 + 5 \times 11 = 75$ €. Sur un an, elle économise, en euros, $u_1 + u_2 + \cdots + u_{12} = 12 \times \frac{20 + 75}{2} = 570.$

1.3 Suites géométriques

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que $u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$.

Terme général. Pour tout $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$, et plus généralement $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

C'est le modèle des évolutions à taux constant : une hausse de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$.

Sommes. Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n$ : $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Exemple 2. On place $1\,000$ € à intérêts composés, au taux de $3\,\%$ par an. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$. Le capital au bout de $n$ années est une suite géométrique : $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$. On trouve $C_1 = 1\,030$, $C_2 = 1\,060{,}90$, $C_3 \approx 1\,092{,}73$, et au bout de dix ans $C_{10} = 1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,343{,}92$ €.

Exemple 3. $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2\,047$.

1.4 Sens de variation

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante ; constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.

On dit aussi qu'une suite est croissante à partir d'un rang $n_0$ si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \geq n_0$.

Méthodes.

1. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
2. Si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0\,;+\infty[$, la suite a le même sens de variation que $f$.
3. Suite arithmétique : croissante si $r \geq 0$, décroissante si $r \leq 0$.
4. Suite géométrique avec $u_0 > 0$ et $q > 0$ : comme $u_{n+1} - u_n = u_0\,q^n(q - 1)$, elle est croissante si $q > 1$ et décroissante si $0 < q < 1$ (strictement dans les deux cas).

Exemple 4. Étudier le sens de variation de $u_n = n^2 - 4n$.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - n^2 + 4n = 2n - 3.$ Cette différence est négative pour $n = 0$ et $n = 1$, positive pour $n \geq 2$. Les premiers termes sont $0$, $-3$, $-4$, $-3$, $0$, $5$ : la suite décroît jusqu'au rang $2$, puis elle est croissante à partir du rang $2$. Autre méthode : $u_n = f(n)$ avec $f(x) = x^2 - 4x$, dont la dérivée $2x - 4$ est positive sur $[2\,;+\infty[$.

Attention. La méthode 2 ne vaut que pour $u_n = f(n)$. Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas celui de la suite.

Exemple 5. Avec $f(x) = \dfrac12 x + 3$, qui est croissante :

• si $u_0 = 0$, on obtient $0$, $3$, $\frac92$, $\frac{21}{4}$… : les premiers termes montent ;
• si $u_0 = 10$, on obtient $10$, $8$, $7$, $\frac{13}{2}$… : les premiers termes descendent.

Pour conclure sur le sens de variation, il faut une démonstration : ce sera la leçon 5, grâce au raisonnement par récurrence.

Leçon 2 : Le raisonnement par récurrence

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Vérifier ne suffit pas

Pour chaque entier $n$, calculons $n^2 - n + 41$. On obtient $41$, $41$, $43$, $47$, $53$, $61$… et ainsi de suite jusqu'à $n = 40$ : ces $41$ nombres sont tous premiers. Pourtant, pour $n = 41$ : $41^2 - 41 + 41 = 41^2 = 1\,681,$ qui n'est pas premier. Vérifier un grand nombre de cas ne démontre rien. Pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers, il faut un raisonnement.

2.2 Le principe de récurrence

Principe. Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$, et $n_0$ un entier naturel. Si :

1. Initialisation : $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie ;
2. Hérédité : pour tout entier $n \geq n_0$, si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie ;

alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

L'image des dominos. L'initialisation fait tomber le premier domino. L'hérédité garantit que chaque domino qui tombe fait tomber le suivant. Alors $\mathcal{P}(n_0)$ entraîne $\mathcal{P}(n_0 + 1)$, qui entraîne $\mathcal{P}(n_0 + 2)$, et ainsi de suite : tous les dominos tombent.

Ce que dit vraiment l'hérédité. On ne suppose pas que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n$ (ce serait supposer ce qu'on veut démontrer). On montre une implication : pour un entier $n$ quelconque, si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ l'est aussi.

2.3 Rédiger une récurrence

Une récurrence se rédige en quatre temps.

1. Énoncer la propriété : « Pour tout entier $n \geq n_0$, on note $\mathcal{P}(n)$ : … »
2. Initialisation : vérifier que $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie.
3. Hérédité : « Soit $n \geq n_0$ un entier tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. Montrons que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie. » L'affirmation « $\mathcal{P}(n)$ est vraie » s'appelle l'hypothèse de récurrence : on a le droit de s'en servir.
4. Conclusion : « Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$. »

2.4 Un premier exemple

Exemple 6. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n - 1$ est divisible par $3$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $4^n - 1$ est divisible par $3$ ».

Initialisation. $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie : il existe un entier $k$ tel que $4^n - 1 = 3k$, c'est-à-dire $4^n = 3k + 1$. Alors $4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4(3k + 1) - 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1).$ Comme $4k + 1$ est un entier, $4^{n+1} - 1$ est divisible par $3$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n - 1$ est divisible par $3$. (Premières valeurs : $0$, $3$, $15$, $63$.)

2.5 Les deux étapes sont indispensables

Sans initialisation, l'hérédité ne prouve rien. Prenons $\mathcal{P}(n)$ : « $4^n + 1$ est divisible par $3$ ». Elle est héréditaire : si $4^n + 1 = 3k$, alors $4^{n+1} + 1 = 4(4^n + 1) - 3 = 4 \times 3k - 3 = 3(4k - 1).$ Mais $4^0 + 1 = 2$ n'est pas divisible par $3$. En fait, $\mathcal{P}(n)$ est fausse pour tout $n$ : d'après l'exemple 6, $4^n - 1$ est un multiple de $3$, donc $4^n + 1 = (4^n - 1) + 2$ a pour reste $2$ dans la division par $3$.

Sans hérédité, vérifier des cas ne suffit pas : c'est l'exemple de $n^2 - n + 41$ (paragraphe 2.1).

2.6 Un peu d'histoire

Le raisonnement par récurrence est très ancien. On en trouve des formes vers l'an 1000 chez al-Karaji, puis au XIIᵉ siècle chez as-Samaw'al, deux mathématiciens de langue arabe, et au XVIᵉ siècle chez Maurolico. Pascal l'emploie au XVIIᵉ siècle dans son Traité du triangle arithmétique. À la fin du XIXᵉ siècle, Peano en fait l'un des principes de base des nombres entiers.

Leçon 3 : Récurrence et égalités

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La méthode

Pour démontrer une égalité par récurrence, l'hérédité suit toujours le même plan.

1. Écrire au brouillon le but : l'égalité au rang $n + 1$.
2. Partir d'un des deux membres, en général le plus compliqué, et y faire apparaître l'expression du rang $n$.
3. Remplacer grâce à l'hypothèse de récurrence, puis calculer jusqu'au but.

3.2 Le terme général d'une suite définie par récurrence

Exemple 7. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$.

Conjecture. Les premiers termes sont $1$, $3$, $7$, $15$, $31$ : chacun est une puissance de $2$ moins $1$. On conjecture que $u_n = 2^{n+1} - 1$ pour tout $n$.

Démonstration. On note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2^{n+1} - 1$ ».

• Initialisation. $2^1 - 1 = 1 = u_0$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
• Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. Le but est $u_{n+1} = 2^{n+2} - 1$. On part de $u_{n+1}$ : $u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2\left(2^{n+1} - 1\right) + 1 = 2^{n+2} - 2 + 1 = 2^{n+2} - 1.$ $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
• Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2^{n+1} - 1$.

3.3 Des formules de sommes

Pour une somme, le rang $n + 1$ s'obtient à partir du rang $n$ en ajoutant un seul terme.

Exemple 8 (somme des nombres impairs). Montrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2.$ On le devine en calculant : $1 = 1^2$, $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$. Sur un dessin, chaque nouveau nombre impair ajoute une bande en équerre autour du carré précédent.

• Initialisation ($n = 1$) : la somme se réduit à $1 = 1^2$.
• Hérédité. Supposons $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ pour un entier $n \geq 1$. Le nombre impair suivant est $2n + 1 = 2(n+1) - 1$, donc $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) + (2n + 1) = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2.$
• Conclusion. La formule est vraie pour tout $n \geq 1$.

Exemple 9 (somme des carrés). Montrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

• Initialisation ($n = 1$) : $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1 = 1^2$.
• Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$. Le but est $\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$, car $2(n+1) + 1 = 2n + 3$. On ajoute $(n+1)^2$ et on met $n + 1$ en facteur au lieu de tout développer : $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{n+1}{6}\big[n(2n+1) + 6(n+1)\big] = \frac{n+1}{6}\left(2n^2 + 7n + 6\right).$ Le trinôme $2n^2 + 7n + 6$ a pour racines $-2$ et $-\frac32$ : il se factorise en $(n+2)(2n+3)$. On obtient $\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ : c'est la formule au rang $n + 1$.
• Conclusion. La formule est vraie pour tout $n \geq 1$.

Notation. Une somme peut s'écrire de façon concise avec le symbole $\sum$ : $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$. Le programme l'utilise seulement comme écriture ; dans ce chapitre, on écrit les sommes avec des points de suspension.

Leçon 4 : Récurrence et inégalités, l'inégalité de Bernoulli

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Trois règles pour les inégalités

Dans l'hérédité d'une inégalité, trois règles servent sans arrêt. Pour tous réels $a$, $b$, $c$ et $k$ :

1. Ajouter : si $a \geq b$, alors $a + c \geq b + c$.
2. Multiplier par un nombre strictement positif : si $a \geq b$ et $k > 0$, alors $ka \geq kb$. Attention : si $k < 0$, le sens change, $ka \leq kb$.
3. Avancer par étapes : si $a \geq b$ et $b \geq c$, alors $a \geq c$.

4.2 L'inégalité de Bernoulli

C'est une démonstration du programme. Elle servira au chapitre 2 pour étudier le comportement de $q^n$.

Propriété (inégalité de Bernoulli). Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n$, $(1 + a)^n \geq 1 + na.$

Démonstration. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $(1 + a)^n \geq 1 + na$ ».

Initialisation. $(1 + a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $(1 + a)^n \geq 1 + na$. On multiplie les deux membres par $1 + a$, qui est strictement positif : le sens ne change pas. $(1 + a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2.$ Or $na^2 \geq 0$, donc $1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$. Par étapes, $(1 + a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1 + a)^n \geq 1 + na$.

Remarques.

• L'inégalité reste vraie pour $a = 0$ (c'est alors une égalité), et même pour $-1 \leq a < 0$ : la démonstration n'utilise que $1 + a \geq 0$.
• Sur un graphique avec $a = 0{,}5$ : les points $(n\,;1 + 0{,}5n)$ sont alignés, les points $(n\,;1{,}5^n)$ montent de plus en plus vite et ne passent jamais en dessous. Il y a égalité pour $n = 0$ et $n = 1$.

4.3 Une lecture concrète

Exemple 10. $1\,000$ € placés à $3\,\%$ par an à intérêts composés deviennent $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$ (exemple 2). Avec $a = 0{,}03$, l'inégalité de Bernoulli donne $C_n \geq 1\,000\,(1 + 0{,}03n) = 1\,000 + 30n.$ Un placement à intérêts composés rapporte donc au moins autant que le même placement à intérêts simples. Au bout de dix ans : environ $1\,344$ € contre $1\,300$ €.

4.4 Une inégalité vraie à partir d'un rang

L'initialisation se fait au premier rang où la propriété est demandée.

Exemple 11. Comparer $2^n$ et $n^2$.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$2^n$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
$n^2$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$

L'inégalité $2^n \geq n^2$ est vraie pour $n = 0$, $1$, $2$, fausse pour $n = 3$, puis semble toujours vraie. Montrons que $2^n \geq n^2$ pour tout $n \geq 4$.

• Initialisation ($n = 4$) : $2^4 = 16 = 4^2$.
• Hérédité. Soit $n \geq 4$ tel que $2^n \geq n^2$. En multipliant par $2 > 0$ : $2^{n+1} \geq 2n^2$. Il reste à comparer $2n^2$ et $(n+1)^2$ : $2n^2 - (n + 1)^2 = n^2 - 2n - 1 = (n - 1)^2 - 2.$ Comme $n \geq 4$, $(n - 1)^2 \geq 9$, donc $(n - 1)^2 - 2 > 0$. Par étapes, $2^{n+1} \geq 2n^2 \geq (n + 1)^2$.
• Conclusion. Pour tout $n \geq 4$, $2^n \geq n^2$.

Leçon 5 : Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : encadrement et sens de variation

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Suites majorées, minorées, bornées

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ($M$ est un majorant) ;
• minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ($m$ est un minorant) ;
• bornée si elle est à la fois majorée et minorée : $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$.

Une suite croissante est minorée par son premier terme $u_0$ ; une suite décroissante est majorée par $u_0$.

5.2 Représenter une suite récurrente

Pour une suite définie par $u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$.

1. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses et on monte jusqu'à la courbe : l'ordonnée lue est $u_1 = f(u_0)$.
2. On rejoint horizontalement la droite $y = x$ : le point obtenu a pour abscisse $u_1$, qu'on reporte sur l'axe des abscisses.
3. On recommence à partir de $u_1$.

Le dessin permet de conjecturer le comportement de la suite. Il ne le démontre pas : c'est le rôle de la récurrence.

5.3 La méthode : une récurrence double

Pour encadrer la suite et trouver son sens de variation en même temps, on démontre par récurrence une propriété du type $\mathcal{P}(n) : \quad a \leq u_n \leq u_{n+1} \leq b \qquad \text{(ou } a \leq u_{n+1} \leq u_n \leq b\text{)}.$ L'idée clé de l'hérédité : si $f$ est croissante sur $[a\,;b]$, alors pour $x$ et $y$ dans $[a\,;b]$, $x \leq y$ entraîne $f(x) \leq f(y)$. On peut donc appliquer $f$ à toute la chaîne d'inégalités sans changer leur sens : $a \leq u_n \leq u_{n+1} \leq b \;\Longrightarrow\; f(a) \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq f(b).$ Il reste à vérifier que $f(a) \geq a$ et $f(b) \leq b$.

Exemple 12. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 3$. On note $f(x) = \dfrac12 x + 3$.

On note $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$ ».

• Initialisation. $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$ : on a bien $0 \leq 0 \leq 3 \leq 6$.
• Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. La fonction $f$ est affine de coefficient $\frac12 > 0$ : elle est croissante sur $\mathbb{R}$. En appliquant $f$ : $f(0) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) \leq f(6), \quad\text{soit}\quad 3 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6.$ Comme $0 \leq 3$, on obtient $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
• Conclusion. Pour tout $n$, $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$.

La suite $(u_n)$ est donc croissante et bornée : $0 \leq u_n \leq 6$ pour tout $n$. Le nombre $6$ n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de $f(x) = x$, abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite $y = x$.

Exemple 13. Même fonction $f$, mais $u_0 = 10$. Alors $u_1 = 8$. On démontre de la même façon $\mathcal{P}(n)$ : « $6 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 10$ ».

• Initialisation. $6 \leq 8 \leq 10 \leq 10$.
• Hérédité. Si $6 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 10$, alors, $f$ étant croissante, $f(6) \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq f(10)$, soit $6 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 8 \leq 10$.

Cette fois, la suite est décroissante et minorée par $6$.

5.4 Ce qui décide du sens de variation

Dans les exemples 12 et 13, la fonction $f$ est la même et elle est croissante. Pourtant une suite croît et l'autre décroît : $f$ croissante ne veut pas dire $(u_n)$ croissante.

Intervalle stable. On dit qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ si $f(x) \in I$ pour tout $x \in I$. Si $I$ est stable par $f$ et $u_0 \in I$, alors $u_n \in I$ pour tout $n$ (récurrence immédiate : si $u_n \in I$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in I$).

Propriété. Soit $f$ croissante sur un intervalle $I$ stable par $f$, et $u_0 \in I$.

• Si $u_0 \leq u_1$, la suite $(u_n)$ est croissante.
• Si $u_0 \geq u_1$, la suite $(u_n)$ est décroissante.

Démonstration (premier cas). On note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \leq u_{n+1}$ ». $\mathcal{P}(0)$ est l'hypothèse $u_0 \leq u_1$. Si $u_n \leq u_{n+1}$, ces deux termes sont dans $I$ et $f$ y est croissante, donc $f(u_n) \leq f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2}$. Le second cas est identique, avec les inégalités dans l'autre sens.

Exemple 14. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. La fonction $f(x) = \sqrt{x + 6}$ est croissante sur $[-6\,;+\infty[$ (composée de $x \mapsto x + 6$ et de la racine carrée, toutes deux croissantes ; ou bien $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} > 0$).

On montre par récurrence $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$ ».

• Initialisation. $u_1 = \sqrt7 \approx 2{,}65$, et $1 \leq 1 \leq \sqrt7 \leq 3$ car $7 \leq 9$.
• Hérédité. Si $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$, alors $f(1) \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq f(3)$, soit $\sqrt7 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 3$, et $1 \leq \sqrt7$.

La suite est croissante et comprise entre $1$ et $3$. Ici aussi, $3$ vérifie $f(3) = \sqrt9 = 3$.

Attention, $f$ décroissante. Si $f$ est décroissante, la suite peut osciller sans être monotone. Avec $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = \dfrac{1}{1 + v_n}$, on obtient $0$, $1$, $\frac12$, $\frac23$, $\frac35$… : les termes montent et descendent tour à tour. On peut tout de même encadrer : si $0 \leq v_n \leq 1$, alors $1 \leq 1 + v_n \leq 2$, donc $\frac12 \leq v_{n+1} \leq 1$. Par récurrence, $0 \leq v_n \leq 1$ pour tout $n$.

Au chapitre 2, tu verras ce que ces encadrements permettent de dire sur la limite de la suite.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Suites de Première : arithmétique $u_n = u_0 + nr$, géométrique $u_n = u_0\,q^n$ ; $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ et $1 + q + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$.
2. Sens de variation : signe de $u_{n+1} - u_n$ ; si $u_n = f(n)$, même sens que $f$ ; jamais directement le sens de $f$ quand $u_{n+1} = f(u_n)$.
3. Récurrence : initialisation au rang $n_0$, puis hérédité « si $\mathcal{P}(n)$, alors $\mathcal{P}(n+1)$ » pour tout $n \geq n_0$. Les deux étapes sont indispensables, et vérifier des exemples ne démontre rien.
4. Égalités : écrire le but au rang $n + 1$, partir d'un membre, faire apparaître l'hypothèse de récurrence ; pour une somme, on ajoute un seul terme ; factoriser plutôt que développer.
5. Inégalités : multiplier seulement par des nombres positifs, avancer par étapes.
6. Inégalité de Bernoulli : pour $a > 0$ et $n \in \mathbb{N}$, $(1 + a)^n \geq 1 + na$.
7. Suites $u_{n+1} = f(u_n)$ : encadrement et sens de variation par une récurrence double $a \leq u_n \leq u_{n+1} \leq b$, en appliquant $f$ croissante à toute la chaîne.