QCM · Chapitre 1

Récurrence et suites

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20 $(u_n)$ est arithmétique, de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $3$ . Alors $u_{10} =$
$30$ $35$ $38$ $15$

Voir la réponse

Réponse B. $u_{10} = u_0 + 10r = 5 + 30 = 35$ .
Question 2 sur 20 $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^9 =$
$1\,023$ $1\,024$ $511$ $2\,047$

Voir la réponse

Réponse A. $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2^{10} - 1 = 1\,023$ . La réponse D correspond à une somme qui irait jusqu'à $2^{10}$ .
Question 3 sur 20 $1 + 2 + 3 + \cdots + 20 =$
$200$ $210$ $420$ $400$

Voir la réponse

Réponse B. $\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$ .
Question 4 sur 20La suite définie par $v_n = 3 \times 0{,}9^n$ est
croissante décroissante constante ni croissante ni décroissante

Voir la réponse

Réponse B. Suite géométrique de premier terme $3 > 0$ et de raison $0{,}9$ , comprise entre $0$ et $1$ : $v_{n+1} - v_n = -0{,}3 \times 0{,}9^n < 0$ .
Question 5 sur 20Dans un raisonnement par récurrence, l'hérédité consiste à montrer que
$\mathcal{P}(0)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ , si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, sans rien supposer $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour $n = 0, 1, 2$ et $3$

Voir la réponse

Réponse B. L'hérédité est une implication. La réponse A décrit l'initialisation, et la réponse D une simple vérification.
Question 6 sur 20On a montré que $\mathcal{P}(n)$ est héréditaire pour tout $n \geq 3$ , et que $\mathcal{P}(3)$ est vraie. Alors
$\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq 3$ $\mathcal{P}(n)$ est vraie seulement pour $n = 3$ et $n = 4$ $\mathcal{P}(n)$ est fausse pour $n < 3$

Voir la réponse

Réponse B. L'initialisation au rang $3$ et l'hérédité donnent la propriété à partir du rang $3$ . On ne sait rien pour $n < 3$ .
Question 7 sur 20On considère la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $5^n + 1$ est divisible par $4$ ».
elle est vraie pour tout $n$ elle est héréditaire, mais fausse pour $n = 0$ elle n'est pas héréditaire elle est vraie pour $n = 0$

Voir la réponse

Réponse B. Si $5^n + 1 = 4k$ , alors $5^{n+1} + 1 = 5(5^n + 1) - 4 = 4(5k - 1)$ : elle est héréditaire. Mais $5^0 + 1 = 2$ . En fait, elle est fausse pour tout $n$ .
Question 8 sur 20On vérifie à la calculatrice qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour $n = 0, 1, 2, \ldots, 1\,000$ . Alors
$\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n$ $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq 1\,000$ on ne peut pas conclure sans démonstration $\mathcal{P}(1\,001)$ est forcément vraie

Voir la réponse

Réponse C. Rappelle-toi $n^2 - n + 41$ : premier pour $n$ de $0$ à $40$ , mais pas pour $n = 41$ .
Question 9 sur 20 $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$ . Pour démontrer que $u_n = 3^n + 1$ , l'hérédité donne $u_{n+1} = 3\left(3^n + 1\right) - 2 =$
$3^{n+1} + 1$ $3^{n+1} + 3$ $3^{n+1} - 1$ $9^n + 1$

Voir la réponse

Réponse A. $3 \times 3^n + 3 - 2 = 3^{n+1} + 1$ : c'est bien la formule au rang $n + 1$ .
Question 10 sur 20 $1 + 3 + 5 + \cdots + 19 =$
$100$ $81$ $361$ $99$

Voir la réponse

Réponse A. C'est la somme des $10$ premiers nombres impairs ( $19 = 2 \times 10 - 1$ ), qui vaut $10^2$ .
Question 11 sur 20On veut démontrer par récurrence que $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Au rang $n + 1$ , le but à atteindre est
$1^2 + \cdots + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ $1^2 + \cdots + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6}$ $1^2 + \cdots + n^2 + 1 = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ $1^2 + \cdots + (n+1)^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 1$

Voir la réponse

Réponse A. On remplace $n$ par $n + 1$ partout : $2(n+1) + 1 = 2n + 3$ .
Question 12 sur 20 $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$ . Ses premiers termes sont $1$ , $2$ , $5$ , $10$ . Quelle formule est vraie pour tout $n$ ?
$u_n = n^2 + 1$ $u_n = 2n + 1$ $u_n = 2^n$ $u_n = n + 1$

Voir la réponse

Réponse A. Les autres formules échouent dès $n = 1$ ou $n = 2$ . Et l'hérédité marche : $n^2 + 1 + 2n + 1 = (n+1)^2 + 1$ .
Question 13 sur 20L'inégalité de Bernoulli affirme que, pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$ ,
$(1 + a)^n \geq 1 + na$ $(1 + a)^n \leq 1 + na$ $(1 + a)^n = 1 + na$ $(1 + a)^n \geq n + a$

Voir la réponse

Réponse A. Les autres sont fausses : pour $a = 1$ et $n = 2$ , $(1+a)^2 = 4 > 3 = 1 + 2a$ , ce qui exclut B et C ; pour $n = 0$ et $a = 2$ , $1 < 2$ , ce qui exclut D.
Question 14 sur 20Dans l'hérédité de l'inégalité de Bernoulli, on multiplie les deux membres de $(1 + a)^n \geq 1 + na$ par $1 + a$ . Pourquoi l'inégalité garde-t-elle son sens ?
car $1 + a > 0$ car $n \geq 0$ car $a^2 \geq 0$ car $(1 + a)^n \geq 1$

Voir la réponse

Réponse A. On peut multiplier une inégalité par un nombre strictement positif sans changer son sens. Le fait que $na^2 \geq 0$ sert à l'étape suivante.
Question 15 sur 20Avec $a = 0{,}05$ et $n = 40$ , l'inégalité de Bernoulli donne
$1{,}05^{40} \geq 3$ $1{,}05^{40} \geq 40{,}05$ $1{,}05^{40} \leq 3$ $1{,}05^{40} \geq 42$

Voir la réponse

Réponse A. $1 + 40 \times 0{,}05 = 3$ . En réalité, $1{,}05^{40} \approx 7{,}04$ : B, C et D sont fausses.
Question 16 sur 20La propriété « $2^n \geq n^2$ » est
vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ fausse pour $n = 3$ , et vraie pour tout $n \geq 4$ vraie seulement pour $n \geq 5$ fausse pour tout $n \geq 4$

Voir la réponse

Réponse B. $2^3 = 8 < 9$ , puis $2^4 = 16 = 4^2$ et la récurrence marche à partir du rang $4$ .
Question 17 sur 20La suite $(u_n)$ est majorée par $5$ signifie que
$u_n \leq 5$ pour tout $n$ $u_n \geq 5$ pour tout $n$ $u_0 = 5$ $u_n < 5$ pour au moins un $n$

Voir la réponse

Réponse A. Un majorant est plus grand que tous les termes. La réponse B définit un minorant.
Question 18 sur 20 $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2$ . Alors $u_1 =$
$2{,}5$ $2$ $1{,}5$ $4$

Voir la réponse

Réponse A. $0{,}5 \times 1 + 2 = 2{,}5$ .
Question 19 sur 20 $f$ est croissante sur un intervalle $I$ qui contient tous les termes de la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , et $u_1 < u_0$ . Alors
$(u_n)$ est décroissante $(u_n)$ est croissante on ne peut rien dire $(u_n)$ est constante

Voir la réponse

Réponse A. Par récurrence : si $u_{n+1} \leq u_n$ , alors $f(u_{n+1}) \leq f(u_n)$ , c'est-à-dire $u_{n+2} \leq u_{n+1}$ . C'est la comparaison de $u_0$ et $u_1$ qui décide.
Question 20 sur 20 $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Dans l'hérédité, si $0 \leq u_n \leq 2$ , alors
$\sqrt2 \leq u_{n+1} \leq 2$ $0 \leq u_{n+1} \leq \sqrt2$ $2 \leq u_{n+1} \leq 4$ $u_{n+1} \geq 2$

Voir la réponse

Réponse A. $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ , et la racine carrée est croissante : $\sqrt2 \leq u_{n+1} \leq 2$ . Donc $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ .