Algorithmes : seuil et valeurs approchées

7.1 Recherche d'un seuil

Problème. On reprend le placement du chapitre 1 : un capital de $1000$ € est placé à $3\,\%$ par an, avec intérêts composés, et $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $2000$ € ?

• Le rang cherché existe : $1{,}03 > 1$, donc $u_n \to +\infty$, et l'intervalle $]2000\,;+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
• La suite est croissante : une fois le seuil franchi, on reste au-dessus.

Algorithme en langage naturel (« $\leftarrow$ » se lit « prend la valeur ») :

n ← 0
u ← 1000
Tant que u ≤ 2000
    u ← 1,03 × u
    n ← n + 1
Fin Tant que

En Python :

def seuil(A):
    n = 0
    u = 1000
    while u <= A:
        u = 1.03 * u
        n = n + 1
    return n

seuil(2000) renvoie 24. Vérification : $1000 \times 1{,}03^{23} \approx 1973{,}59 \leq 2000$ et $1000 \times 1{,}03^{24} \approx 2032{,}79 > 2000$. Le capital dépasse $2000$ € au bout de $24$ ans.

Attention. La boucle ne s'arrête que parce que le seuil est atteint. Avec une suite majorée par $2000$, la condition u <= 2000 resterait vraie et le programme ne s'arrêterait jamais. Avant de lancer un algorithme de seuil, on justifie que le seuil sera atteint (par une limite).

Au chapitre 8, le logarithme permettra de résoudre $1{,}03^n > 2$ par le calcul.

7.2 Listes des premiers termes

On peut générer la liste des premiers termes (programme : « notion de liste »).

• En compréhension :

>>> [round(1000 * 1.03**n, 2) for n in range(5)]
[1000.0, 1030.0, 1060.9, 1092.73, 1125.51]

• Par ajouts successifs :

L = []
for n in range(5):
    L.append(round(1000 * 1.03**n, 2))

range(5) parcourt les entiers $0, 1, 2, 3, 4$ : on obtient les termes de rang $0$ à $4$, arrondis au centime.

7.3 Valeurs approchées : l'exemple de $\sqrt2$

Une suite convergente fournit des valeurs approchées de sa limite. On définit $u_0 = 2 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = \frac12\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right).$ C'est la méthode de Héron, du nom d'un mathématicien grec de l'Antiquité.

Et $\sqrt2 \approx 1{,}414\,213\,562\,373$ : $u_4$ donne déjà $11$ décimales exactes.

u = 2
for k in range(4):
    u = u / 2 + 1 / u
print(u)        # affiche 1.4142135623746899

Pourquoi $\sqrt2$ ? On admet ici que la suite converge vers un réel $\ell > 0$ : l'étude de sa convergence est un approfondissement possible du programme (« étude de la convergence de la méthode de Héron »). En passant à la limite dans la relation : $\ell = \frac12\left(\ell + \frac2\ell\right) \iff 2\ell = \ell + \frac2\ell \iff \ell = \frac2\ell \iff \ell^2 = 2,$ et comme $\ell > 0$, $\ell = \sqrt2$.

Autres valeurs approchées du programme. Le programme cite aussi $\pi$, $e$, $\frac{1 + \sqrt5}{2}$ (le nombre d'or) et $\ln(2)$. Les exercices 12 et 14 traitent $e$ et le nombre d'or ; $\ln(2)$ attend le chapitre 8.