QCM · Chapitre 2

Limites de suites

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20Une suite croissante et non majorée
converge tend vers $+\infty$ tend vers $-\infty$ peut n'avoir aucune limite

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Réponse B. C'est le théorème démontré dans la leçon 1. Par exemple, $\sqrt n$ est croissante, non majorée, et tend vers $+\infty$ .
Question 2 sur 20La suite définie par $w_n = n\big(1 + (-1)^n\big)$
tend vers $+\infty$ est majorée n'est pas majorée et ne tend pas vers $+\infty$ converge vers $0$

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Réponse C. Elle vaut $2n$ pour $n$ pair, donc elle n'est pas majorée ; mais elle vaut $0$ pour tout $n$ impair, donc elle ne tend pas vers $+\infty$ .
Question 3 sur 20La négation de « pour tout réel $A$ , il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$ , $u_n \geq A$ » est
pour tout réel $A$ , il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$ , $u_n < A$ il existe un réel $A$ tel que, pour tout rang $N$ , il existe $n \geq N$ avec $u_n < A$ il existe un réel $A$ tel que $u_n < A$ pour tout $n$ pour tout réel $A$ , $u_n < A$ pour tout $n$

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Réponse B. On remplace « pour tout » par « il existe » et inversement, puis on nie l'inégalité finale.
Question 4 sur 20Pour $n \geq 1$ , $u_n = 2 + \dfrac1n$ appartient à l'intervalle ouvert $]1{,}9\,;2{,}1[$
pour tout $n \geq 1$ dès que $n \geq 10$ dès que $n \geq 11$ pour aucun $n$

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Réponse C. $u_n < 2{,}1 \iff n > 10$ . Le terme $u_{10} = 2{,}1$ n'appartient pas à l'intervalle ouvert.
Question 5 sur 20La suite $\big((-1)^n\big)$
converge vers $0$ converge vers $1$ tend vers $+\infty$ n'a pas de limite

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Réponse D. Elle vaut alternativement $1$ et $-1$ : aucun intervalle ouvert de longueur inférieure à $2$ ne peut contenir tous ses termes à partir d'un certain rang.
Question 6 sur 20Laquelle de ces formes n'est pas indéterminée ?
$\infty - \infty$ $0 \times \infty$ $\dfrac{\infty}{\infty}$ un réel divisé par $\infty$

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Réponse D. Un réel divisé par une suite qui tend vers l'infini donne $0$ . Les trois autres sont des formes indéterminées.
Question 7 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(n^2 - 5n + 1\right) =$
$-\infty$ $1$ $+\infty$ on ne peut pas conclure

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Réponse C. $n^2 - 5n + 1 = n^2\left(1 - \frac5n + \frac{1}{n^2}\right)$ et la parenthèse tend vers $1$ . La forme $\infty - \infty$ se lève en factorisant.
Question 8 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{2n+1}{n+3} =$
$\dfrac13$ $2$ $+\infty$ $0$

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Réponse B. $\dfrac{2n+1}{n+3} = \dfrac{2 + \frac1n}{1 + \frac3n}$ , qui tend vers $\dfrac21 = 2$ . La réponse A remplace à tort $n$ par $0$ .
Question 9 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{n+1}{n^2+1} =$
$0$ $1$ $+\infty$ $\dfrac12$

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Réponse A. $\dfrac{n+1}{n^2+1} = \dfrac1n \times \dfrac{1 + \frac1n}{1 + \frac{1}{n^2}}$ , produit d'une suite qui tend vers $0$ par une suite qui tend vers $1$ .
Question 10 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(n + (-1)^n\right) =$
$+\infty$ $0$ elle n'existe pas $-\infty$

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Réponse A. $n + (-1)^n \geq n - 1$ , et $n - 1 \to +\infty$ : on conclut par comparaison.
Question 11 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(5 + \frac{(-1)^n}{n}\right) =$
$5$ $6$ $4$ elle n'existe pas

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Réponse A. $5 - \frac1n \leq 5 + \frac{(-1)^n}{n} \leq 5 + \frac1n$ , et les deux bornes tendent vers $5$ : théorème des gendarmes.
Question 12 sur 20Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n < 2$ pour tout $n$ et converge vers $\ell$ . Alors
$\ell < 2$ $\ell \leq 2$ $\ell = 2$ $\ell > 2$

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Réponse B. Par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges. Par exemple, $2 - \frac1n < 2$ et sa limite vaut $2$ .
Question 13 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0{,}99^n =$
$1$ $0$ $+\infty$ $0{,}99$

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Réponse B. $-1 < 0{,}99 < 1$ , donc $0{,}99^n \to 0$ , même si la décroissance est lente.
Question 14 sur 20La suite $\big((-1{,}5)^n\big)$
tend vers $+\infty$ tend vers $-\infty$ tend vers $0$ n'a pas de limite

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Réponse D. $-1{,}5 \leq -1$ : les termes changent de signe à chaque rang et leur valeur absolue tend vers $+\infty$ .
Question 15 sur 20 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(3 - 2 \times 0{,}5^n\right) =$
$3$ $1$ $-\infty$ $2$

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Réponse A. $0{,}5^n \to 0$ , donc $3 - 2 \times 0{,}5^n \to 3$ .
Question 16 sur 20Une suite décroissante et minorée par $0$
converge vers $0$ converge vers un réel $\ell \geq 0$ tend vers $-\infty$ peut n'avoir aucune limite

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Réponse B. Le théorème de convergence monotone donne la convergence, et le passage à la limite donne $\ell \geq 0$ . La limite n'est pas forcément $0$ : $1 + \frac1n$ est décroissante, minorée par $0$ , et tend vers $1$ .
Question 17 sur 20On pose $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$ . On admet que $(u_n)$ converge. Sa limite vaut
$3$ $6$ $0$ $1{,}5$

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Réponse B. La limite $\ell$ vérifie $\ell = 0{,}5\,\ell + 3$ , donc $\ell = 6$ .
Question 18 sur 20On place $1000$ € à $3\,\%$ par an. Un algorithme de seuil cherche le plus petit entier $n$ tel que $1000 \times 1{,}03^n > 2000$ . Il renvoie
$23$ $24$ $33$ rien : la boucle ne s'arrête pas

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Réponse B. $1000 \times 1{,}03^{23} \approx 1974$ et $1000 \times 1{,}03^{24} \approx 2033$ . La boucle s'arrête car la suite tend vers $+\infty$ .
Question 19 sur 20Pour $u_{n+1} = 0{,}85\,u_n + 450$ , la suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique quand
$\ell = 450$ $\ell = 3000$ $\ell = 0{,}85$ $\ell = 2000$

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Réponse B. $\ell$ doit vérifier $\ell = 0{,}85\,\ell + 450$ , soit $0{,}15\,\ell = 450$ et $\ell = 3000$ .
Question 20 sur 20La suite définie par $u_n = 3000 - 1000 \times 0{,}85^n$
tend vers $3000$ tend vers $2000$ tend vers $0$ tend vers $+\infty$

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Réponse A. $0{,}85^n \to 0$ , donc $u_n \to 3000$ . Dans la situation des vélos, le nombre d'abonnés se stabilise à long terme autour de $3000$ .