Limites de suites

Leçon 1 : Suites qui tendent vers l'infini

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1.1 Un premier exemple

On considère la suite définie par $u_n = n^2$. Ses premiers termes valent $0, 1, 4, 9, 16, \ldots$ et ils grandissent sans s'arrêter.

Choisissons un seuil, par exemple $A = 10\,000$. Si $n \geq 100$, alors $n^2 \geq 100^2 = 10\,000$ : à partir du rang $100$, tous les termes dépassent $10\,000$. Avec $A = 10^6$, il suffit de prendre $n \geq 1000$. Quel que soit le seuil $A$ choisi, on trouve un rang à partir duquel tous les termes dépassent $A$.

1.2 Définition

Définition (programme). La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.$

Autrement dit : pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $u_n \geq A$. Le rang $N$ dépend de $A$ : plus $A$ est grand, plus il faut aller loin.

Définition (programme). La suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty\,;A]$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$.

Lien entre les deux. $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ si et seulement si $\lim\limits_{n\to+\infty} (-u_n) = +\infty$.

Exemple 1. $v_n = 5 - 2n$. Ses termes valent $5, 3, 1, -1, \ldots$ Pour passer sous $-1000$ : $5 - 2n \leq -1000 \iff 2n \geq 1005 \iff n \geq 502{,}5$. À partir du rang $503$, $v_n \leq -1000$. Plus généralement, pour tout réel $A$, $5 - 2n \leq A \iff n \geq \dfrac{5 - A}{2}$ : tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient les termes à partir d'un certain rang. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = -\infty$.

1.3 Suites croissantes non majorées

Rappel : une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$.

Théorème (démonstration du programme). Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.

Démonstration. Soit $A$ un réel quelconque.

1. La suite n'est pas majorée, donc $A$ n'est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$.
2. La suite est croissante, donc pour tout $n \geq N$, $u_n \geq u_N$, et donc $u_n > A$.
3. Ainsi, l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les termes à partir du rang $N$. C'est la définition : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

De même, toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ (même raisonnement, ou on l'applique à $(-u_n)$).

Exemple 2. $u_n = \sqrt n$.

• La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc $(u_n)$ est croissante.
• Elle n'est pas majorée : soit $M > 0$ ; si $n > M^2$, alors $\sqrt n > \sqrt{M^2} = M$. Aucun réel $M$ n'est donc un majorant.

D'après le théorème, $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt n = +\infty$.

1.4 Deux pièges

« Non majorée » ne suffit pas. La suite $w_n = n\big(1 + (-1)^n\big)$ vaut $2n$ si $n$ est pair et $0$ si $n$ est impair. Elle n'est pas majorée (ses termes pairs dépassent tout réel), mais une infinité de ses termes valent $0$ : elle ne tend pas vers $+\infty$.

Écrire la négation. Dire que « $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$ », c'est nier « pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $u_n \geq A$ ». La négation est :

il existe un réel $A$ tel que, pour tout rang $N$, il existe un entier $n \geq N$ avec $u_n < A$.

Pour $(w_n)$, le réel $A = 1$ convient : pour tout rang $N$, l'entier impair $n = 2N + 1$ vérifie $n \geq N$ et $w_n = 0 < 1$.

« Croissante » ne suffit pas. La suite $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante, mais $u_n < 1$ pour tout $n$ : elle est majorée par $1$ et ne tend pas vers $+\infty$. On verra à la leçon 2 qu'elle converge vers $1$.

Enfin, une suite qui tend vers $+\infty$ n'est pas forcément croissante : $t_n = n + 2(-1)^n$ vérifie $t_n \geq n - 2$, donc $t_n \geq A$ dès que $n \geq A + 2$ ; elle tend vers $+\infty$, mais $t_1 = -1 < t_0 = 2$.

Leçon 2 : Suites convergentes

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 L'idée

La suite $u_n = 1 - \dfrac{1}{10^n}$ ($n \geq 1$) a pour termes $0{,}9$ ; $0{,}99$ ; $0{,}999$… Au rang $n$, l'écriture décimale de $u_n$ compte $n$ chiffres $9$ après la virgule. Les termes deviennent aussi proches de $1$ qu'on veut, dès que $n$ est assez grand : la suite converge vers $1$.

2.2 Définition

Définition (programme). La suite $(u_n)$ converge vers le nombre réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.$

Un intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toujours un intervalle de la forme $]\ell - r\,;\ell + r[$ avec $r > 0$. Il suffit donc de vérifier que, pour tout $r > 0$, les termes finissent par rester dans $]\ell - r\,;\ell + r[$.

Unicité (admise). Si une suite converge, sa limite est unique.

Exemple 3. $u_n = 2 + \dfrac1n$ ($n \geq 1$). Prenons l'intervalle ouvert $]1{,}9\,;2{,}1[$, qui contient $2$.

• On a toujours $u_n > 2 > 1{,}9$.
• $u_n < 2{,}1 \iff \dfrac1n < 0{,}1 \iff n > 10$. Attention : $u_{10} = 2{,}1$ n'appartient pas à l'intervalle ouvert.

À partir du rang $11$, tous les termes sont dans $]1{,}9\,;2{,}1[$. Avec $]1{,}99\,;2{,}01[$, il faut aller jusqu'au rang $101$. Plus généralement, pour tout $r > 0$, $u_n \in\, ]2 - r\,;2 + r[$ dès que $n > \dfrac1r$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(2 + \dfrac1n\right) = 2$.

2.3 Limites de référence

Pourquoi $\frac1n \to 0$ ? Pour tout réel $a > 0$, $\dfrac1n \in\, ]-a\,;a[$ dès que $n > \dfrac1a$. Les autres limites s'obtiennent de la même façon, ou avec la leçon 1 ($n^k$ et $\sqrt n$ sont croissantes et non majorées).

2.4 Suites divergentes

Définition. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Deux cas sont possibles :

• elle tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ (leçon 1) ;
• elle n'a aucune limite.

Exemple 4. $w_n = (-1)^n$ vaut alternativement $1$ et $-1$.

• L'intervalle ouvert $]0\,;2[$ contient $1$, mais aucun des termes de rang impair, qui valent $-1$. Comme il y a des rangs impairs aussi loin qu'on veut, $(w_n)$ ne converge pas vers $1$.
• De même, $]-2\,;0[$ contient $-1$ mais aucun terme de rang pair : $(w_n)$ ne converge pas vers $-1$.
• Si $\ell$ est un autre réel, l'intervalle $]\ell - r\,;\ell + r[$, avec $r$ le plus petit des deux nombres $|\ell - 1|$ et $|\ell + 1|$, ne contient aucun terme.
• Enfin, $(w_n)$ ne tend pas vers $\pm\infty$ : par exemple, $[2\,;+\infty[$ ne contient aucun terme.

La suite $\big((-1)^n\big)$ n'a donc pas de limite.

2.5 Un peu d'histoire

Pendant longtemps, les mathématiciens ont calculé avec des quantités « infiniment petites », sans définition précise de la limite. Le programme rappelle que des fondations solides sont proposées dans le Cours d'analyse d'Augustin Louis Cauchy (1821), qui définit précisément la notion de limite et en fait le point de départ de l'analyse.

Leçon 3 : Opérations sur les limites

Voir la vidéo de la leçon 3

Les règles suivantes sont admises. $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites ; $\ell$ et $\ell'$ désignent des réels. « FI » signifie forme indéterminée : les règles ne permettent pas de conclure directement.

3.1 Somme

3.2 Produit

3.3 Quotient

Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$, $\;0 \times \infty$, $\;\dfrac{\infty}{\infty}$, $\;\dfrac00$.

« Indéterminée » ne veut pas dire que la limite n'existe pas : selon les suites, on peut obtenir n'importe quel résultat. Par exemple, $n - n \to 0$ alors que $n^2 - n \to +\infty$, et pourtant les deux sont de la forme $\infty - \infty$. Il faut alors transformer l'écriture.

Exemple 5 (pas d'indétermination). $\left(2 + \dfrac1n\right)\left(n^2 + 1\right)$ : le premier facteur tend vers $2$, le second vers $+\infty$. Par produit, la limite vaut $+\infty$.

Exemple 6 (règle des signes). Si $\lim u_n = -3$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim\,(u_n v_n) = -\infty$.

3.4 Lever une indétermination : factoriser par le terme le plus fort

Exemple 7 (forme $\infty - \infty$). $u_n = n^2 - 5n + 1$. On factorise par le terme le plus fort, $n^2$ : $u_n = n^2\left(1 - \frac5n + \frac{1}{n^2}\right).$ La parenthèse tend vers $1$ et $n^2 \to +\infty$. Par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

Exemple 8 (forme $\frac{\infty}{\infty}$). Pour $n \geq 1$ : $\frac{2n+1}{n+3} = \frac{n\left(2 + \frac1n\right)}{n\left(1 + \frac3n\right)} = \frac{2 + \frac1n}{1 + \frac3n}.$ Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{2n+1}{n+3} = 2$.

Exemple 9 (forme $\frac{\infty}{\infty}$). Pour $n \geq 1$ : $\frac{n+1}{n^2+1} = \frac{n\left(1 + \frac1n\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac1n \times \frac{1 + \frac1n}{1 + \frac{1}{n^2}}.$ Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{n+1}{n^2+1} = 0$.

Autre technique : l'expression conjuguée. Pour une différence de racines, on multiplie et on divise par la somme. Par exemple $\sqrt{n+4} - \sqrt n = \dfrac{(n + 4) - n}{\sqrt{n+4} + \sqrt n} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4} + \sqrt n}$, qui tend vers $0$ (voir l'exercice 6).

Leçon 4 : Comparaison et théorème des gendarmes

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Le théorème de comparaison

Théorème (démonstration du programme). Si, à partir d'un certain rang, $u_n \geq v_n$, et si $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

Autrement dit : une suite minorée par une suite qui diverge vers $+\infty$ diverge aussi vers $+\infty$.

Démonstration. Soit $A$ un réel.

1. Comme $v_n \to +\infty$, il existe un rang $N_1$ tel que $v_n \geq A$ pour tout $n \geq N_1$.
2. Par hypothèse, il existe un rang $N_0$ tel que $u_n \geq v_n$ pour tout $n \geq N_0$.
3. Soit $N$ le plus grand des deux rangs $N_0$ et $N_1$. Pour tout $n \geq N$ : $u_n \geq v_n \geq A$.
4. L'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc tous les $u_n$ à partir du rang $N$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

De même, si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ (exercice 7).

Exemple 10. $u_n = n + (-1)^n$. Comme $(-1)^n \geq -1$, on a $u_n \geq n - 1$. Or $\lim\limits_{n\to+\infty} (n - 1) = +\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

4.2 Le théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes (admis). Si, à partir d'un certain rang, $v_n \leq u_n \leq w_n$, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

La suite $(u_n)$ est « coincée » entre deux gendarmes qui se rejoignent en $\ell$.

Exemple 11. $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ ($n \geq 1$). Comme $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ et $n > 0$ : $2 - \frac1n \leq u_n \leq 2 + \frac1n.$ Les deux suites encadrantes tendent vers $2$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 2$.

Méthode. Les suites contenant $(-1)^n$, $\cos n$ ou $\sin n$ se traitent souvent ainsi, car $-1 \leq (-1)^n \leq 1$, $-1 \leq \cos n \leq 1$ et $-1 \leq \sin n \leq 1$.

4.3 Passer à la limite dans une inégalité

Propriété (admise). Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, et si $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = \ell'$, alors $\ell \leq \ell'$.

Attention : les inégalités strictes deviennent larges. Pour tout $n \geq 1$, $\dfrac1n > 0$, mais $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac1n = 0$. Si $u_n < 3$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, on peut seulement conclure $\ell \leq 3$.

Leçon 5 : Limite d'une suite géométrique

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Le théorème

Théorème (programme : « comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ où $q$ est un nombre réel »).

5.2 Rappel : l'inégalité de Bernoulli (chapitre 1)

Pour tout réel $a > 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $(1 + a)^n \geq 1 + na.$ Elle a été démontrée par récurrence au chapitre 1.

5.3 Démonstration (programme : « limite de $(q^n)$, après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli »)

Cas $q > 1$. On pose $a = q - 1$ : $a > 0$ et $q = 1 + a$. D'après l'inégalité de Bernoulli, $q^n = (1+a)^n \geq 1 + na$. Comme $a > 0$, $\lim\limits_{n\to+\infty} (1 + na) = +\infty$. Par comparaison (leçon 4), $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = +\infty$.

Cas $q = 1$. $q^n = 1$ pour tout $n$ : la suite est constante, de limite $1$.

Cas $-1 < q < 1$.

• Si $q = 0$, $q^n = 0$ pour tout $n \geq 1$, donc la limite vaut $0$.
• Sinon, $0 < |q| < 1$. On pose $b = \dfrac{1}{|q|}$ : $b > 1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} b^n = +\infty$ d'après le premier cas. Par quotient, $|q|^n = \dfrac{1}{b^n}$ tend vers $0$.
• Enfin, $-|q|^n \leq q^n \leq |q|^n$, et les deux suites encadrantes tendent vers $0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = 0$.

Cas $q \leq -1$.

• Pour $q = -1$, la suite vaut $1, -1, 1, -1, \ldots$ : elle n'a pas de limite (leçon 2, exemple 4).
• Pour $q < -1$, par exemple $q = -2$ : $1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ Les termes changent de signe à chaque rang et $|q^n| = |q|^n \to +\infty$ (car $|q| > 1$). Les termes de rang pair tendent vers $+\infty$ et ceux de rang impair vers $-\infty$ : la suite ne converge pas, et elle ne tend ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$.

5.4 Application aux suites géométriques

Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ s'écrit $u_n = u_0 \times q^n$. Sa limite se déduit du théorème par produit.

Exemple 12. On reprend le placement du chapitre 1 : un capital de $1000$ € placé à $3\,\%$ par an (intérêts composés) vaut $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$ au bout de $n$ années. Comme $1{,}03 > 1$, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

Exemple 13. $5 \times 0{,}8^n \to 0$ car $-1 < 0{,}8 < 1$. Et $-2 \times 1{,}5^n \to -\infty$ car $1{,}5^n \to +\infty$ et $-2 < 0$.

Exemple 14 (somme géométrique). Pour $q \neq 1$, on sait depuis la Première que $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Avec $q = \dfrac12$ : $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots + \left(\frac12\right)^n = \frac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{\frac12} = 2\left(1 - \left(\frac12\right)^{n+1}\right).$ Comme $\left(\frac12\right)^{n+1} \to 0$, cette somme tend vers $2$.

Leçon 6 : Suites monotones et convergence

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Le théorème de convergence monotone

Théorème (admis, programme). Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

6.2 Ce que dit le théorème, et ce qu'il ne dit pas

• Il donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Un majorant n'est pas forcément la limite : $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est majorée par $5$, mais sa limite vaut $1$.
• Si $(u_n)$ est croissante, majorée par $M$, et converge vers $\ell$, alors $\ell \leq M$ (passage à la limite dans l'inégalité $u_n \leq M$, leçon 4).
• Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$. En effet, s'il existait un rang $N$ avec $u_N > \ell$, on aurait $u_n \geq u_N > \ell$ pour tout $n \geq N$, et l'intervalle ouvert $]\ell - 1\,;u_N[$, qui contient $\ell$, ne contiendrait aucun terme à partir du rang $N$ : contradiction.

6.3 Bilan pour une suite monotone

Avec la leçon 1 :

Une suite monotone a donc toujours une limite, finie ou infinie.

6.4 Exemple complet : une suite définie par récurrence

Exemple 15. $u_0 = 0$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. On calcule $u_1 = 3$, $u_2 = 4{,}5$, $u_3 = 5{,}25$.

1. Encadrement et monotonie, par récurrence (chapitre 1). Soit $P(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$ ».

• Initialisation : $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$, donc $0 \leq 0 \leq 3 \leq 6$ : $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$. On multiplie par $0{,}5 > 0$ : $0 \leq 0{,}5\,u_n \leq 0{,}5\,u_{n+1} \leq 3$. On ajoute $3$ : $3 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6$. Comme $0 \leq 3$, $P(n+1)$ est vraie.
• Conclusion : pour tout $n$, $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$.

2. Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $6$ : elle converge vers un réel $\ell$.

3. Valeur de la limite. Quand $n \to +\infty$, $u_{n+1} \to \ell$ (ce sont les mêmes termes, décalés d'un rang) et, par opérations, $0{,}5\,u_n + 3 \to 0{,}5\,\ell + 3$. Par unicité de la limite, $\ell = 0{,}5\,\ell + 3$, d'où $\ell = 6$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 6$.

Remarque. Ici, $u_{n+1}$ s'exprime avec des opérations sur $u_n$, et les opérations sur les limites suffisent. Pour une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ plus générale, la continuité de $f$ (chapitre 7) permettra de conclure de la même façon.

Leçon 7 : Algorithmes : seuil et valeurs approchées

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Recherche d'un seuil

Problème. On reprend le placement du chapitre 1 : un capital de $1000$ € est placé à $3\,\%$ par an, avec intérêts composés, et $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $2000$ € ?

• Le rang cherché existe : $1{,}03 > 1$, donc $u_n \to +\infty$, et l'intervalle $]2000\,;+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
• La suite est croissante : une fois le seuil franchi, on reste au-dessus.

Algorithme en langage naturel (« $\leftarrow$ » se lit « prend la valeur ») :

n ← 0
u ← 1000
Tant que u ≤ 2000
    u ← 1,03 × u
    n ← n + 1
Fin Tant que

En Python :

def seuil(A):
    n = 0
    u = 1000
    while u <= A:
        u = 1.03 * u
        n = n + 1
    return n

seuil(2000) renvoie 24. Vérification : $1000 \times 1{,}03^{23} \approx 1973{,}59 \leq 2000$ et $1000 \times 1{,}03^{24} \approx 2032{,}79 > 2000$. Le capital dépasse $2000$ € au bout de $24$ ans.

Attention. La boucle ne s'arrête que parce que le seuil est atteint. Avec une suite majorée par $2000$, la condition u <= 2000 resterait vraie et le programme ne s'arrêterait jamais. Avant de lancer un algorithme de seuil, on justifie que le seuil sera atteint (par une limite).

Au chapitre 8, le logarithme permettra de résoudre $1{,}03^n > 2$ par le calcul.

7.2 Listes des premiers termes

On peut générer la liste des premiers termes (programme : « notion de liste »).

• En compréhension :

>>> [round(1000 * 1.03**n, 2) for n in range(5)]
[1000.0, 1030.0, 1060.9, 1092.73, 1125.51]

• Par ajouts successifs :

L = []
for n in range(5):
    L.append(round(1000 * 1.03**n, 2))

range(5) parcourt les entiers $0, 1, 2, 3, 4$ : on obtient les termes de rang $0$ à $4$, arrondis au centime.

7.3 Valeurs approchées : l'exemple de $\sqrt2$

Une suite convergente fournit des valeurs approchées de sa limite. On définit $u_0 = 2 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = \frac12\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right).$ C'est la méthode de Héron, du nom d'un mathématicien grec de l'Antiquité.

Et $\sqrt2 \approx 1{,}414\,213\,562\,373$ : $u_4$ donne déjà $11$ décimales exactes.

u = 2
for k in range(4):
    u = u / 2 + 1 / u
print(u)        # affiche 1.4142135623746899

Pourquoi $\sqrt2$ ? On admet ici que la suite converge vers un réel $\ell > 0$ : l'étude de sa convergence est un approfondissement possible du programme (« étude de la convergence de la méthode de Héron »). En passant à la limite dans la relation : $\ell = \frac12\left(\ell + \frac2\ell\right) \iff 2\ell = \ell + \frac2\ell \iff \ell = \frac2\ell \iff \ell^2 = 2,$ et comme $\ell > 0$, $\ell = \sqrt2$.

Autres valeurs approchées du programme. Le programme cite aussi $\pi$, $e$, $\frac{1 + \sqrt5}{2}$ (le nombre d'or) et $\ln(2)$. Les exercices 12 et 14 traitent $e$ et le nombre d'or ; $\ln(2)$ attend le chapitre 8.

Leçon 8 : Modéliser une évolution par une suite

Voir la vidéo de la leçon 8

Le programme demande d'« étudier des phénomènes d'évolution modélisables par une suite ». Voici un exemple complet.

8.1 La situation

Une ville lance un service de vélos en libre-service. Au lancement, on compte $2000$ abonnés. Chaque mois, $15\,\%$ des abonnés résilient leur abonnement et $450$ nouvelles personnes s'abonnent. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois.

Garder $85\,\%$ des abonnés revient à multiplier par $0{,}85$. Donc $u_0 = 2000$ et, pour tout $n$ : $u_{n+1} = 0{,}85\,u_n + 450.$

8.2 Une suite auxiliaire géométrique

On cherche d'abord le réel $\ell$ qui « ne bouge pas » : $\ell = 0{,}85\,\ell + 450 \iff 0{,}15\,\ell = 450 \iff \ell = 3000$.

On pose $v_n = u_n - 3000$. Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - 3000 = 0{,}85\,u_n + 450 - 3000 = 0{,}85\,u_n - 2550 = 0{,}85\,(u_n - 3000) = 0{,}85\,v_n.$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}85$ et de premier terme $v_0 = 2000 - 3000 = -1000$.

8.3 Forme explicite, limite, sens de variation

• $v_n = -1000 \times 0{,}85^n$, donc $u_n = 3000 - 1000 \times 0{,}85^n$. Vérification : $u_1 = 3000 - 850 = 2150$ et $0{,}85 \times 2000 + 450 = 2150$.
• Limite. $-1 < 0{,}85 < 1$, donc $0{,}85^n \to 0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 3000$.
• Sens de variation. $u_{n+1} - u_n = -1000 \times 0{,}85^{n+1} + 1000 \times 0{,}85^n = 1000 \times 0{,}85^n\,(1 - 0{,}85) = 150 \times 0{,}85^n > 0$ : la suite est croissante.
• Interprétation. Le nombre d'abonnés augmente et se stabilise à long terme autour de $3000$, sans jamais atteindre cette valeur ($u_n < 3000$ pour tout $n$).

8.4 Un seuil

Quand le service dépasse-t-il $2900$ abonnés ? $u_n > 2900 \iff 1000 \times 0{,}85^n < 100 \iff 0{,}85^n < 0{,}1$.

def seuil():
    n = 0
    u = 2000
    while u <= 2900:
        u = 0.85 * u + 450
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie 15 : $u_{14} \approx 2897 \leq 2900$ et $u_{15} \approx 2913 > 2900$. Le service dépasse $2900$ abonnés au bout de $15$ mois.

8.5 La méthode à retenir

Pour une suite $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$ :

1. on cherche le réel $\ell$ tel que $\ell = a\,\ell + b$ ;
2. on montre que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ ;
3. on en déduit $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$, puis la limite avec la leçon 5 ;
4. on interprète les résultats dans la situation (long terme, seuil, sens de variation).

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. $u_n \to +\infty$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang ; $u_n \to \ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. La limite, quand elle existe, est unique.
2. Une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ (démontré). « Non majorée » seule ou « croissante » seule ne suffit pas.
3. Les opérations sur les limites se lisent dans les tableaux. Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac00$. Pour les lever, on factorise par le terme le plus fort.
4. Comparaison : une suite minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ tend vers $+\infty$ (démontré). Gendarmes : une suite coincée entre deux suites de même limite $\ell$ tend vers $\ell$. Par passage à la limite, les inégalités deviennent larges.
5. $q^n \to +\infty$ si $q > 1$ ; $q^n \to 0$ si $-1 < q < 1$ ; $q^n = 1$ si $q = 1$ ; pas de limite si $q \leq -1$. La démonstration utilise l'inégalité de Bernoulli.
6. Toute suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge (admis). Le théorème ne donne pas la limite : on la trouve en passant à la limite dans la relation de récurrence.
7. Un algorithme de seuil (boucle while) donne le premier rang où un seuil est franchi, à condition de savoir qu'il le sera.
8. Pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$ ($a \neq 1$), la suite $u_n - \ell$, avec $\ell = a\,\ell + b$, est géométrique.