Méthodes de Newton et de la sécante

6.1 L'idée de Newton

La dichotomie est sûre mais lente. La méthode de Newton (du nom d'Isaac Newton) remplace la courbe par sa tangente. On part d'un réel $x_0$ proche de la solution ; la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ coupe l'axe des abscisses en un réel $x_1$, en général plus proche de la solution ; on recommence à partir de $x_1$.

6.2 La formule

La tangente au point d'abscisse $x_n$ a pour équation $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Elle coupe l'axe des abscisses quand $y = 0$, c'est-à-dire quand $f'(x_n)(x - x_n) = -f(x_n)$. Si $f'(x_n) \neq 0$ : $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Exemple 15. $f(x) = x^3 - 3x + 1$, $f'(x) = 3x^2 - 3$, et $x_0 = 0$.

• $x_1 = 0 - \dfrac{f(0)}{f'(0)} = 0 - \dfrac{1}{-3} = \dfrac13$.
• $f\!\left(\frac13\right) = \dfrac{1}{27}$ et $f'\!\left(\frac13\right) = -\dfrac83$, donc $x_2 = \dfrac13 + \dfrac{1}{27} \times \dfrac38 = \dfrac13 + \dfrac{1}{72} = \dfrac{25}{72} \approx 0{,}347\,22$.
• $x_3 \approx 0{,}347\,296\,35$, et $|x_3 - \beta| < 10^{-8}$.

Trois étapes donnent huit décimales exactes, là où la dichotomie demandait dix étapes pour trois décimales.

6.3 En Python

def fp(x):
    return 3*x**2 - 3

def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / fp(x)
    return x

newton(0, 3) renvoie 0.34729635316386803.

6.4 Quand la méthode échoue

• Si $f'(x_n) = 0$, la tangente est horizontale et ne coupe pas l'axe des abscisses : la formule divise par $0$. Avec $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et $x_0 = 1$, on a $f'(1) = 0$ : la méthode ne démarre pas.
• Un point de départ mal choisi peut conduire à une autre solution que celle cherchée, ou ne mener nulle part. On part donc près de la solution, par exemple après quelques étapes de dichotomie.

6.5 Un lien avec le chapitre 2

Pour $f(x) = x^2 - 2$, on a $f'(x) = 2x$ et $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$ La méthode de Héron du chapitre 2, $u_{n+1} = \dfrac12\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$, est donc la méthode de Newton appliquée à $x^2 - 2$.

6.6 La méthode de la sécante

Elle n'utilise pas la dérivée. On part de deux réels $x_0$ et $x_1$. La sécante qui passe par les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $x_{n-1}$ et $x_n$ a pour équation $y = f(x_n) + \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}\,(x - x_n).$ Elle coupe l'axe des abscisses en $x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \qquad \big(f(x_n) \neq f(x_{n-1})\big).$

Exemple 16. $f(x) = x^3 - 3x + 1$, $x_0 = 0$ et $x_1 = 1$.

• $x_2 = 1 - (-1) \times \dfrac{1 - 0}{-1 - 1} = 1 - \dfrac12 = 0{,}5$.
• Avec $f(0{,}5) = -0{,}375$ : $x_3 = 0{,}5 - (-0{,}375) \times \dfrac{0{,}5 - 1}{-0{,}375 + 1} = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$.
• Puis $x_4 = \dfrac{31}{87} \approx 0{,}356$, $x_5 \approx 0{,}3477$, $x_6 \approx 0{,}347\,29$.

6.7 Comparer les trois méthodes