Continuité en un point et sur un intervalle

1.1 L'idée

Une fonction est continue quand sa courbe se trace sans lever le crayon : quand $x$ varie un peu, $f(x)$ varie un peu, sans saut. C'est une image utile ; la définition passe par les limites.

1.2 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$.

• $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque réel de $I$.

Autrement dit, quand $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $f(a)$. La limite en un réel a été définie au chapitre 4 : tout intervalle ouvert contenant $f(a)$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

1.3 Limite à gauche, limite à droite

Pour une fonction définie « par morceaux », on étudie séparément ce qui se passe à gauche et à droite de $a$ (chapitre 4, leçon 2).

Propriété. Soit $a$ un réel qui n'est pas une borne de $I$. La fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si sa limite à gauche en $a$ et sa limite à droite en $a$ existent et sont toutes deux égales à $f(a)$.

Méthode. On compare trois nombres : la limite à gauche, la limite à droite et la valeur $f(a)$. S'ils sont égaux, $f$ est continue en $a$ ; sinon, elle ne l'est pas.

1.4 Exemples

Exemple 1 (un prix en escalier). Dans un parking, on paie $2$ euros par heure entamée, pendant $4$ heures au plus. Le prix payé, en euros, pour une durée de $t$ heures est $P(t) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 < t \leq 1 \\ 4 & \text{si } 1 < t \leq 2 \\ 6 & \text{si } 2 < t \leq 3 \\ 8 & \text{si } 3 < t \leq 4. \end{cases}$ En $t = 1$ : à gauche, $P(t) = 2$, donc la limite à gauche vaut $2 = P(1)$. À droite, $P(t) = 4$ : la limite à droite vaut $4$. Elle est différente de $P(1)$, donc $P$ n'est pas continue en $1$. Il en est de même en $2$ et en $3$. En tout autre réel de $]0\,;4]$, $P$ est constante autour de ce réel, donc continue. Sa courbe est faite de quatre paliers : elle « saute » en $1$, $2$ et $3$.

Exemple 2 (un raccord réussi). Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}$

• À gauche de $1$ : $\lim\limits_{x\to1^-} x^2 = 1$.
• À droite de $1$ : $\lim\limits_{x\to1^+} (2x - 1) = 1$.
• $f(1) = 1^2 = 1$.

Les trois nombres sont égaux : $f$ est continue en $1$. Sa courbe se raccorde sans saut au point $(1\,;1)$.

Exemple 3 (un raccord raté). Soit $g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ x + 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}$ À gauche, la limite vaut $1 = g(1)$, mais à droite, $\lim\limits_{x\to1^+} (x + 1) = 2 \neq g(1)$. La fonction $g$ n'est pas continue en $1$ : sa courbe saute du point $(1\,;1)$ au point $(1\,;2)$, qui n'est pas sur la courbe.

Exemple 4 (choisir un paramètre). Pour quelle valeur du réel $m$ la fonction $h(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq 2 \\ 3x + m & \text{si } x > 2 \end{cases}$ est-elle continue en $2$ ?

À gauche et en $2$ : $h(2) = 5$. À droite : $\lim\limits_{x\to2^+} (3x + m) = 6 + m$. Il faut $6 + m = 5$, soit $m = -1$.

1.5 Lecture graphique

• Sur un intervalle, la courbe d'une fonction continue est d'un seul tenant.
• Un « saut » de la courbe en un point d'abscisse $a$ signale une fonction qui n'est pas continue en $a$.
• On ne parle de continuité que là où la fonction est définie. La fonction inverse n'est pas définie en $0$ ; elle est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, même si sa courbe a deux branches.