Continuité et valeurs intermédiaires

Leçon 1 : Continuité en un point et sur un intervalle

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1.1 L'idée

Une fonction est continue quand sa courbe se trace sans lever le crayon : quand $x$ varie un peu, $f(x)$ varie un peu, sans saut. C'est une image utile ; la définition passe par les limites.

1.2 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$.

• $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque réel de $I$.

Autrement dit, quand $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $f(a)$. La limite en un réel a été définie au chapitre 4 : tout intervalle ouvert contenant $f(a)$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

1.3 Limite à gauche, limite à droite

Pour une fonction définie « par morceaux », on étudie séparément ce qui se passe à gauche et à droite de $a$ (chapitre 4, leçon 2).

Propriété. Soit $a$ un réel qui n'est pas une borne de $I$. La fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si sa limite à gauche en $a$ et sa limite à droite en $a$ existent et sont toutes deux égales à $f(a)$.

Méthode. On compare trois nombres : la limite à gauche, la limite à droite et la valeur $f(a)$. S'ils sont égaux, $f$ est continue en $a$ ; sinon, elle ne l'est pas.

1.4 Exemples

Exemple 1 (un prix en escalier). Dans un parking, on paie $2$ euros par heure entamée, pendant $4$ heures au plus. Le prix payé, en euros, pour une durée de $t$ heures est $P(t) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 < t \leq 1 \\ 4 & \text{si } 1 < t \leq 2 \\ 6 & \text{si } 2 < t \leq 3 \\ 8 & \text{si } 3 < t \leq 4. \end{cases}$ En $t = 1$ : à gauche, $P(t) = 2$, donc la limite à gauche vaut $2 = P(1)$. À droite, $P(t) = 4$ : la limite à droite vaut $4$. Elle est différente de $P(1)$, donc $P$ n'est pas continue en $1$. Il en est de même en $2$ et en $3$. En tout autre réel de $]0\,;4]$, $P$ est constante autour de ce réel, donc continue. Sa courbe est faite de quatre paliers : elle « saute » en $1$, $2$ et $3$.

Exemple 2 (un raccord réussi). Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}$

• À gauche de $1$ : $\lim\limits_{x\to1^-} x^2 = 1$.
• À droite de $1$ : $\lim\limits_{x\to1^+} (2x - 1) = 1$.
• $f(1) = 1^2 = 1$.

Les trois nombres sont égaux : $f$ est continue en $1$. Sa courbe se raccorde sans saut au point $(1\,;1)$.

Exemple 3 (un raccord raté). Soit $g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ x + 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}$ À gauche, la limite vaut $1 = g(1)$, mais à droite, $\lim\limits_{x\to1^+} (x + 1) = 2 \neq g(1)$. La fonction $g$ n'est pas continue en $1$ : sa courbe saute du point $(1\,;1)$ au point $(1\,;2)$, qui n'est pas sur la courbe.

Exemple 4 (choisir un paramètre). Pour quelle valeur du réel $m$ la fonction $h(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq 2 \\ 3x + m & \text{si } x > 2 \end{cases}$ est-elle continue en $2$ ?

À gauche et en $2$ : $h(2) = 5$. À droite : $\lim\limits_{x\to2^+} (3x + m) = 6 + m$. Il faut $6 + m = 5$, soit $m = -1$.

1.5 Lecture graphique

• Sur un intervalle, la courbe d'une fonction continue est d'un seul tenant.
• Un « saut » de la courbe en un point d'abscisse $a$ signale une fonction qui n'est pas continue en $a$.
• On ne parle de continuité que là où la fonction est définie. La fonction inverse n'est pas définie en $0$ ; elle est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, même si sa courbe a deux branches.

Leçon 2 : Dérivabilité et continuité

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2.1 Le théorème

Théorème. Si $f$ est dérivable en un réel $a$, alors $f$ est continue en $a$. Par conséquent, une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.

Pourquoi. Pour $x \neq a$, on écrit $f(x) - f(a) = (x - a) \times \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$ Quand $x$ tend vers $a$, le premier facteur tend vers $0$ et le second vers le nombre dérivé $f'(a)$. Par produit, $f(x) - f(a)$ tend vers $0 \times f'(a) = 0$, c'est-à-dire $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$.

2.2 La réciproque est fausse

Une fonction peut être continue en $a$ sans y être dérivable.

Exemple 5 (la racine carrée en $0$). $\lim\limits_{x\to0} \sqrt{x} = 0 = \sqrt0$ : la fonction racine carrée est continue en $0$. Mais, pour $h > 0$, son taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt h}{h} = \frac{1}{\sqrt h},$ qui tend vers $+\infty$ quand $h$ tend vers $0$. La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ : sa courbe y a une tangente verticale.

Exemple 6 (un angle). La fonction valeur absolue, $x \mapsto |x|$, vaut $-x$ si $x < 0$ et $x$ si $x \geq 0$. Ses limites à gauche et à droite en $0$ valent $0 = |0|$ : elle est continue en $0$. Mais son taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{|h|}{h}$, égal à $1$ si $h > 0$ et à $-1$ si $h < 0$ : il n'a pas de limite, et la fonction n'est pas dérivable en $0$. Sa courbe forme un angle à l'origine.

Contraposée. Le théorème s'écrit aussi : si $f$ n'est pas continue en $a$, alors elle n'y est pas dérivable. Le prix du parking (exemple 1) n'est pas dérivable en $1$.

2.3 Les fonctions continues à connaître (admis)

Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues sur chaque intervalle où elles sont définies. On l'admet. En pratique, pour une fonction construite à partir des fonctions de référence, il suffit de citer ce résultat : la seule vraie question de continuité se pose aux points de raccord d'une fonction définie par morceaux.

2.4 Des limites immédiates

Si $f$ est continue en $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$ : il suffit de remplacer $x$ par $a$.

Exemple 7. $\lim\limits_{x\to2} \sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x + 1} = \dfrac{1}{1} = 1$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-1} \left(x^3 - 3x + 1\right) = 3$.

Lien avec les chapitres précédents. Au chapitre 4, on a admis que la limite en $a$ d'une fonction de référence définie en $a$ est sa valeur en $a$ : c'est exactement leur continuité. Au chapitre 5, pour comprendre la dérivée d'une composée, on a admis que $u(x)$ tend vers $u(a)$ quand $u$ est dérivable en $a$ : c'est le théorème 2.1.

2.5 Une convention des tableaux de variations

Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle correspondant. C'est la convention utilisée dans les manuels et dans les sujets d'examen ; on s'en sert à la leçon 4 pour compter les solutions d'une équation.

Leçon 3 : Le théorème des valeurs intermédiaires

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3.1 L'énoncé (admis)

Théorème des valeurs intermédiaires. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ de $[a\,;b]$ tel que $f(c) = k$.

Autrement dit, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.

3.2 Ce que dit le théorème

• Graphiquement : la droite d'équation $y = k$ coupe la courbe de $f$ au moins une fois entre les abscisses $a$ et $b$.
• Au moins une : il peut y avoir plusieurs solutions. Le théorème donne l'existence d'une solution, ni sa valeur, ni le nombre de solutions.
• Cas le plus fréquent : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $0$ est compris entre eux, et l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[a\,;b]$.

3.3 La continuité est indispensable

Reprenons le parking de l'exemple 1 : $P(1) = 2$ et $P(2) = 4$, et $3$ est compris entre $2$ et $4$. Pourtant, aucune durée $t$ ne donne $P(t) = 3$ : la fonction « saute » de $2$ à $4$. Le théorème ne s'applique pas, car $P$ n'est pas continue sur $[1\,;2]$.

3.4 La méthode

Pour montrer que l'équation $f(x) = k$ a au moins une solution dans $[a\,;b]$, on vérifie trois points :

1. $f$ est continue sur $[a\,;b]$ ;
2. on calcule $f(a)$ et $f(b)$ ;
3. $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Exemple 8. Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Montrons que l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;1]$.

1. $f$ est une fonction polynôme : elle est continue sur $[0\,;1]$.
2. $f(0) = 1$ et $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.
3. $0$ est compris entre $-1$ et $1$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$.

Exemple 9 (combien en tout ?). Avec la même fonction : $f(-2) = -1$, $f(-1) = 3$, $f(0) = 1$, $f(1) = -1$ et $f(2) = 3$. Le théorème, appliqué sur $[-2\,;-1]$, $[0\,;1]$ et $[1\,;2]$, donne au moins une solution dans chacun de ces intervalles. Ils n'ont aucun point commun, sauf $1$, qui n'est pas solution : l'équation a donc au moins trois solutions. La leçon 4 montre qu'elle en a exactement trois.

3.5 En contexte

Exemple 10. À $7$ h, un thermomètre indique $12$ °C ; à $15$ h, il indique $25$ °C. La température varie de façon continue au cours du temps. Comme $20$ est compris entre $12$ et $25$, il existe au moins un instant entre $7$ h et $15$ h où il a fait exactement $20$ °C. Le théorème ne dit pas quand, ni combien de fois.

Leçon 4 : Fonction strictement monotone : une unique solution

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4.1 Le théorème

Le programme le nomme « cas des fonctions continues strictement monotones » ; on l'appelle souvent le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème. Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$.

4.2 Pourquoi une seule solution

• Existence : c'est le théorème des valeurs intermédiaires.
• Unicité : supposons $f$ strictement croissante. Si $c$ et $c'$ sont deux réels de $[a\,;b]$ avec $c < c'$, alors $f(c) < f(c')$ : ils ne peuvent pas valoir $k$ tous les deux. Il y a donc au plus une solution. Le raisonnement est le même si $f$ est strictement décroissante, avec $f(c) > f(c')$.

4.3 Intervalles ouverts ou non bornés

Le théorème s'étend à un intervalle quelconque, ouvert ou non borné, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle (on l'admet). Par exemple, si $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, avec $f(1) = -1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$, alors toute valeur $k \geq -1$ est atteinte exactement une fois sur $[1\,;+\infty[$.

4.4 Compter les solutions d'une équation

Méthode. On dresse le tableau de variations complet de $f$ (limites et extremums). Sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, on regarde si $k$ est compris entre les valeurs (ou les limites) aux bornes : si oui, il y a une solution et une seule sur cet intervalle ; sinon, aucune.

Exemple 11. Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

• Dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, positive sur $]-\infty\,;-1[$, négative sur $]-1\,;1[$, positive sur $]1\,;+\infty[$.
• Limites (terme prépondérant $x^3$) : $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
• Valeurs : $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et $f(1) = -1$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	croissante	$3$	décroissante	$-1$	croissante	$+\infty$

• Sur $]-\infty\,;-1]$, $f$ est continue et strictement croissante, de $-\infty$ à $3$ ; $0 \in\, ]-\infty\,;3]$ : une unique solution $\alpha$.
• Sur $[-1\,;1]$, $f$ est continue et strictement décroissante, de $3$ à $-1$ ; $0 \in [-1\,;3]$ : une unique solution $\beta$.
• Sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$ ; $0 \in [-1\,;+\infty[$ : une unique solution $\gamma$.

L'équation $f(x) = 0$ a exactement trois solutions $\alpha < \beta < \gamma$. Avec les valeurs de l'exemple 9 : $-2 < \alpha < -1$, $0 < \beta < 1$ et $1 < \gamma < 2$.

Exemple 12 (une autre valeur de $k$). Avec la même fonction, l'équation $f(x) = 4$ n'a pas de solution sur $]-\infty\,;1]$, car $f(x) \leq 3$ sur cet intervalle ; sur $[1\,;+\infty[$, $4$ est compris entre $-1$ et $+\infty$ : une unique solution. L'équation $f(x) = 4$ a exactement une solution.

4.5 Encadrer une solution avec la calculatrice

Exemple 13. Avec le tableau de valeurs de la calculatrice : $f(1{,}5) = -0{,}125 < 0$ et $f(1{,}6) = 0{,}296 > 0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ et que $f(\gamma) = 0$, on a $1{,}5 < \gamma < 1{,}6$. En affinant le pas : $f(1{,}53) \approx -0{,}0084 < 0$ et $f(1{,}54) \approx 0{,}0323 > 0$, donc $1{,}53 < \gamma < 1{,}54$.

4.6 Rédiger

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. De plus $f(1) = -1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$, et $0 \in [-1\,;+\infty[$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\gamma$ dans $[1\,;+\infty[$.

4.7 En déduire le signe d'une fonction

Les solutions de $f(x) = 0$ découpent l'axe en intervalles sur lesquels $f$ garde un signe constant. Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$, le tableau de variations donne :

Leçon 5 : Encadrer une solution par dichotomie

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Le principe

On sait que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ a une unique solution $\beta$ dans $[0\,;1]$, mais aucune formule simple ne la donne. La méthode de dichotomie (du grec « couper en deux ») l'encadre aussi finement qu'on veut.

On part d'un intervalle $[a\,;b]$ sur lequel $f$ est continue et change de signe.

1. On calcule le milieu $m = \dfrac{a + b}{2}$.
2. Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires (ou si $f(m) = 0$), une solution se trouve dans $[a\,;m]$ : on remplace $b$ par $m$.
3. Sinon, $f$ change de signe entre $m$ et $b$ : on remplace $a$ par $m$.
4. On recommence. À chaque étape, l'amplitude de l'intervalle est divisée par $2$.

5.2 À la main

Exemple 14. $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $[0\,;1]$ : $f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = -1 < 0$.

étape	intervalle	milieu $m$	$f(m)$	nouvel intervalle
$1$	$[0\,;1]$	$0{,}5$	$-0{,}375 < 0$	$[0\,;0{,}5]$
$2$	$[0\,;0{,}5]$	$0{,}25$	$\approx 0{,}266 > 0$	$[0{,}25\,;0{,}5]$
$3$	$[0{,}25\,;0{,}5]$	$0{,}375$	$\approx -0{,}072 < 0$	$[0{,}25\,;0{,}375]$
$4$	$[0{,}25\,;0{,}375]$	$0{,}3125$	$\approx 0{,}093 > 0$	$[0{,}3125\,;0{,}375]$

Après quatre étapes, $0{,}3125 < \beta < 0{,}375$ : l'amplitude est $\dfrac{1}{16} = 0{,}0625$.

5.3 Combien d'étapes ?

En partant d'un intervalle d'amplitude $b - a$, l'amplitude après $n$ étapes vaut $\dfrac{b - a}{2^n}$. Pour $[0\,;1]$ et une précision de $10^{-3}$, il faut $2^n \geq 1000$. Comme $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$, il faut dix étapes. Chaque décimale coûte donc un peu plus de trois étapes, car $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$.

5.4 L'algorithme

En langage naturel (« $\leftarrow$ » se lit « prend la valeur ») :

Tant que b − a > e
    m ← (a + b) / 2
    Si f(a) × f(m) ≤ 0
        b ← m
    Sinon
        a ← m
    Fin Si
Fin Tant que

En Python :

def f(x):
    return x**3 - 3*x + 1

def dichotomie(a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

dichotomie(0, 1, 0.001) renvoie (0.3466796875, 0.34765625) après dix étapes. Donc $0{,}3466 < \beta < 0{,}3477$ et $\beta \approx 0{,}347$ à $10^{-3}$ près.

5.5 Remarques

• Le test $f(a) \times f(m) \leq 0$ détecte un changement de signe, que $f$ soit croissante ou décroissante.
• L'algorithme suppose que $f$ est continue et change de signe sur l'intervalle de départ ; sinon, rien ne garantit l'existence d'une solution.
• S'il y a plusieurs solutions dans $[a\,;b]$, l'algorithme n'en encadre qu'une.

Leçon 6 : Méthodes de Newton et de la sécante

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 L'idée de Newton

La dichotomie est sûre mais lente. La méthode de Newton (du nom d'Isaac Newton) remplace la courbe par sa tangente. On part d'un réel $x_0$ proche de la solution ; la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ coupe l'axe des abscisses en un réel $x_1$, en général plus proche de la solution ; on recommence à partir de $x_1$.

6.2 La formule

La tangente au point d'abscisse $x_n$ a pour équation $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Elle coupe l'axe des abscisses quand $y = 0$, c'est-à-dire quand $f'(x_n)(x - x_n) = -f(x_n)$. Si $f'(x_n) \neq 0$ : $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Exemple 15. $f(x) = x^3 - 3x + 1$, $f'(x) = 3x^2 - 3$, et $x_0 = 0$.

• $x_1 = 0 - \dfrac{f(0)}{f'(0)} = 0 - \dfrac{1}{-3} = \dfrac13$.
• $f\!\left(\frac13\right) = \dfrac{1}{27}$ et $f'\!\left(\frac13\right) = -\dfrac83$, donc $x_2 = \dfrac13 + \dfrac{1}{27} \times \dfrac38 = \dfrac13 + \dfrac{1}{72} = \dfrac{25}{72} \approx 0{,}347\,22$.
• $x_3 \approx 0{,}347\,296\,35$, et $|x_3 - \beta| < 10^{-8}$.

Trois étapes donnent huit décimales exactes, là où la dichotomie demandait dix étapes pour trois décimales.

6.3 En Python

def fp(x):
    return 3*x**2 - 3

def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / fp(x)
    return x

newton(0, 3) renvoie 0.34729635316386803.

6.4 Quand la méthode échoue

• Si $f'(x_n) = 0$, la tangente est horizontale et ne coupe pas l'axe des abscisses : la formule divise par $0$. Avec $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et $x_0 = 1$, on a $f'(1) = 0$ : la méthode ne démarre pas.
• Un point de départ mal choisi peut conduire à une autre solution que celle cherchée, ou ne mener nulle part. On part donc près de la solution, par exemple après quelques étapes de dichotomie.

6.5 Un lien avec le chapitre 2

Pour $f(x) = x^2 - 2$, on a $f'(x) = 2x$ et $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$ La méthode de Héron du chapitre 2, $u_{n+1} = \dfrac12\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$, est donc la méthode de Newton appliquée à $x^2 - 2$.

6.6 La méthode de la sécante

Elle n'utilise pas la dérivée. On part de deux réels $x_0$ et $x_1$. La sécante qui passe par les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $x_{n-1}$ et $x_n$ a pour équation $y = f(x_n) + \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}\,(x - x_n).$ Elle coupe l'axe des abscisses en $x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \qquad \big(f(x_n) \neq f(x_{n-1})\big).$

Exemple 16. $f(x) = x^3 - 3x + 1$, $x_0 = 0$ et $x_1 = 1$.

• $x_2 = 1 - (-1) \times \dfrac{1 - 0}{-1 - 1} = 1 - \dfrac12 = 0{,}5$.
• Avec $f(0{,}5) = -0{,}375$ : $x_3 = 0{,}5 - (-0{,}375) \times \dfrac{0{,}5 - 1}{-0{,}375 + 1} = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$.
• Puis $x_4 = \dfrac{31}{87} \approx 0{,}356$, $x_5 \approx 0{,}3477$, $x_6 \approx 0{,}347\,29$.

6.7 Comparer les trois méthodes

Leçon 7 : Suites et fonctions continues

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Image d'une suite convergente (admis)

Propriété. Si une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ (et définie en chaque $u_n$), alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.

Exemple 17. $u_n = 2 + \dfrac{1}{n + 1}$ tend vers $2$. La fonction exponentielle est continue en $2$, donc $\mathrm{e}^{u_n} \to \mathrm{e}^2$. La racine carrée est continue en $9$, donc $\sqrt{u_n + 7} \to \sqrt9 = 3$.

7.2 La limite d'une suite récurrente est un point fixe

Théorème. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $(u_n)$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, dont tous les termes sont dans $I$. Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ de $I$, alors $f(\ell) = \ell$.

Justification. Quand $n \to +\infty$, $u_{n+1} \to \ell$ (ce sont les mêmes termes, décalés d'un rang). Par continuité de $f$ en $\ell$, $f(u_n) \to f(\ell)$. Or $u_{n+1} = f(u_n)$ : par unicité de la limite, $\ell = f(\ell)$. On dit que $\ell$ est un point fixe de $f$ : c'est l'abscisse d'un point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de la droite d'équation $y = x$.

Remarque. Si $I = [a\,;b]$ est fermé, la condition $\ell \in I$ est automatique : de $a \leq u_n \leq b$ pour tout $n$, on déduit $a \leq \ell \leq b$ par passage à la limite (chapitre 2).

7.3 Un exemple du chapitre 1

Exemple 18. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. Au chapitre 1, on a démontré par récurrence que $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$ pour tout $n$.

1. La suite est croissante et majorée par $3$ : elle converge vers un réel $\ell$ (chapitre 2), avec $1 \leq \ell \leq 3$.
2. La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x + 6}$ est continue sur $[1\,;3]$, et tous les termes sont dans $[1\,;3]$. Donc $\ell = \sqrt{\ell + 6}$.
3. Comme $\ell \geq 0$, cela équivaut à $\ell^2 = \ell + 6$, soit $\ell^2 - \ell - 6 = 0$, soit $(\ell - 3)(\ell + 2) = 0$. La solution $-2$ est exclue car $\ell \geq 1$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 3$. Sur le dessin « en escalier », les termes $u_0 = 1$, $u_1 = \sqrt7 \approx 2{,}646$, $u_2 \approx 2{,}940$, $u_3 \approx 2{,}990$ montrent vers le point $(3\,;3)$.

7.4 La méthode

Le programme demande, « pour une fonction continue $f$ d'un intervalle dans lui-même », d'étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. Encadrer : trouver un intervalle $I$ stable par $f$ (c'est-à-dire $f(x) \in I$ pour tout $x \in I$, chapitre 1) contenant $u_0$ ; tous les termes sont alors dans $I$.
2. Sens de variation : par récurrence, ou avec la propriété du chapitre 1 ($f$ croissante sur $I$ stable : la suite est croissante si $u_0 \leq u_1$, décroissante si $u_0 \geq u_1$).
3. Convergence : une suite monotone et bornée converge (chapitre 2).
4. Limite : elle est solution de $f(x) = x$ dans $I$ ; on élimine les solutions qui ne conviennent pas.

7.5 Attention

L'équation $f(\ell) = \ell$ donne seulement les limites possibles ; elle ne prouve pas que la suite converge.

Exemple 19. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n^2$. On obtient $2$, $4$, $16$, $256$… : la suite est croissante et $u_n \geq n + 2$ pour tout $n$ (récurrence), donc elle tend vers $+\infty$. Pourtant, l'équation $x^2 = x$ a deux solutions, $0$ et $1$.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$ ; pour une fonction définie par morceaux, on compare la limite à gauche, la limite à droite et $f(a)$.
2. Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse ($\sqrt{x}$ en $0$). Les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur chaque intervalle où elles sont définies (admis).
3. Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, toute valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte au moins une fois.
4. Corollaire : si de plus $f$ est strictement monotone, la valeur $k$ est atteinte une seule fois. Le résultat s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés, avec les limites aux bornes. Pour compter les solutions, on travaille sur chaque intervalle du tableau de variations.
5. Dichotomie : on coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où $f$ change de signe ; après $n$ étapes, l'amplitude est divisée par $2^n$.
6. Newton : $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ (si $f'(x_n) \neq 0$). Sécante : même idée avec la droite qui passe par les deux derniers points.
7. Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n) \to f(\ell)$. Si une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge, avec $f$ continue, sa limite vérifie $f(\ell) = \ell$ ; il faut d'abord prouver la convergence.