Inéquations du second degré

8.1 La méthode

1. Ramener tout d'un même côté, pour comparer une expression à $0$.
2. Chercher les racines (factorisation directe ou discriminant).
3. Étudier le signe avec le signe de $a$.
4. Conclure en écrivant les solutions avec des intervalles. Une inégalité large ($\leq$ ou $\geq$) garde les racines, une inégalité stricte les exclut.

Exemple 26. Résolvons $x^2 - x - 6 \leq 0$. Deux nombres de somme $1$ et de produit $-6$ : les racines sont $-2$ et $3$. Comme $a = 1 > 0$, l'expression est négative entre les racines. L'ensemble des solutions est $S = [-2\,;3]$.

Exemple 27 (une parabole et une droite). Pour quelles valeurs de $x$ la parabole d'équation $y = 2x^2$ est-elle au-dessus de la droite d'équation $y = x + 3$ ?

On résout $2x^2 > x + 3$, soit $2x^2 - x - 3 > 0$. $\Delta = 1 + 24 = 25$. Les racines sont $\dfrac{1 - 5}{4} = -1$ et $\dfrac{1 + 5}{4} = \dfrac32$. Comme $a = 2 > 0$, l'expression est positive à l'extérieur des racines : $S = \ ]-\infty\,;-1[\ \cup\ \left]\frac32\,;+\infty\right[.$

8.2 Quand il n'y a pas deux racines

Exemple 28. Pour $x^2 + x + 1$, $\Delta = -3 < 0$ et $a > 0$ : l'expression est strictement positive pour tout réel $x$.

• $x^2 + x + 1 > 0$ a pour ensemble de solutions $S = \mathbb{R}$.
• $x^2 + x + 1 \leq 0$ n'a aucune solution : $S = \varnothing$.

Exemple 29. $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

• $x^2 - 6x + 9 \leq 0$ : un carré n'est négatif ou nul que s'il est nul, donc $S = \{3\}$.
• $x^2 - 6x + 9 > 0$ : $S = \mathbb{R} \setminus \{3\} = \ ]-\infty\,;3[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$.

8.3 Deux pièges

Piège 1 : prendre la racine carrée trop vite. $x^2 > 4$ ne veut pas dire $x > 2$ : le nombre $-3$ convient aussi. On écrit $x^2 - 4 > 0$, soit $(x - 2)(x + 2) > 0$, et les solutions sont à l'extérieur des racines : $S = \ ]-\infty\,;-2[\ \cup\ ]2\,;+\infty[$.

Piège 2 : diviser par $x$. Pour $x^2 \geq 3x$, on ne peut pas diviser par $x$, qui peut être négatif ou nul. On écrit $x^2 - 3x \geq 0$, soit $x(x - 3) \geq 0$, et $S = \ ]-\infty\,;0]\ \cup\ [3\,;+\infty[$. En divisant par $x$, on aurait perdu les nombres négatifs et $0$.