Signe d'un polynôme sous forme factorisée

3.1 Signe d'une expression du premier degré

L'expression $mx + p$, avec $m \neq 0$, s'annule en $-\dfrac{p}{m}$. À droite de cette valeur, elle a le signe de $m$ ; à gauche, le signe contraire.

Exemple 8.

• $2x - 6$ s'annule en $3$. Comme $2 > 0$, elle est négative avant $3$ et positive après.
• $-x + 4$ s'annule en $4$. Comme $-1 < 0$, elle est positive avant $4$ et négative après.

3.2 Tableau de signes d'un produit

Exemple 9. Étudions le signe de $f(x) = (x + 2)(x - 1)$. Les facteurs s'annulent en $-2$ et en $1$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$+\infty$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$f(x)$ est positif sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]1\,;+\infty[$, négatif sur $]-2\,;1[$. La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses avant $-2$ et après $1$, en dessous entre les deux.

Exemple 10. Soit $g(x) = -2(x + 1)(x - 3)$. Le facteur constant $-2$ est toujours négatif : il inverse les signes de $(x + 1)(x - 3)$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$-2$		$-$		$-$		$-$
$x + 1$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 3$		$-$		$-$	$0$	$+$
$g(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

3.3 La règle

Propriété. Soit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$ et $x_1 < x_2$. Alors :

• $f(x)$ a le signe de $a$ à l'extérieur des racines ;
• $f(x)$ a le signe contraire de $a$ entre les racines.

Exemple 11 (un atelier). Un atelier imprime des tee-shirts. Pour $x$ centaines de tee-shirts vendus, avec $0 \leq x \leq 14$, son bénéfice, en centaines d'euros, est $B(x) = -(x - 2)(x - 10)$.

Ici $a = -1$ et les racines sont $2$ et $10$. Donc $B(x) > 0$ entre les racines : l'atelier gagne de l'argent pour $x \in\ ]2\,;10[$, soit entre $200$ et $1000$ tee-shirts. En dessous, il ne couvre pas ses frais. Au-delà, le modèle indique que ses frais dépassent ses recettes.

Automatisme. Le signe d'une expression factorisée du second degré se donne de tête : on lit $a$ et les deux racines, puis on applique la règle.