Forme canonique

5.1 Compléter le carré

Regardons $x^2 + 6x$ comme une aire : un carré de côté $x$, plus deux rectangles de dimensions $x$ et $3$. En les plaçant de chaque côté du carré, il ne manque qu'un coin, un petit carré d'aire $9$, pour former un grand carré de côté $x + 3$. Donc $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9.$

Méthode de complétion du carré. Pour tous réels $x$ et $k$ : $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2.$ En pratique, on prend la moitié du coefficient de $x$.

Exemple 14.

• $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.
• $x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$.

Si le coefficient de $x^2$ n'est pas $1$, on le met d'abord en facteur dans les deux premiers termes.

Exemple 15.

• $2x^2 - 12x + 10 = 2\left(x^2 - 6x\right) + 10 = 2\left[(x - 3)^2 - 9\right] + 10 = 2(x - 3)^2 - 8$.
• $-x^2 + 6x - 4 = -\left(x^2 - 6x\right) - 4 = -\left[(x - 3)^2 - 9\right] - 4 = -(x - 3)^2 + 5$.

5.2 Forme canonique

Propriété. Toute fonction polynôme du second degré admet une forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,$ où $a$ est le coefficient de $x^2$, et $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

Le calcul dans le cas général est fait une seule fois, à la leçon 6. En exercice, on la détermine sur des expressions numériques simples.

La forme canonique permet de résoudre une équation :

Exemple 16. $x^2 + 6x + 5 = 0$ équivaut à $(x + 3)^2 = 4$, soit $x + 3 = 2$ ou $x + 3 = -2$. Les solutions sont $-1$ et $-5$.

5.3 Position de la courbe

Propriété. Soit $m$ un réel. La courbe de $x \mapsto f(x - m)$ s'obtient en décalant la courbe de $f$ de $m$ unités horizontalement : vers la droite si $m > 0$, vers la gauche si $m < 0$.

En effet, la valeur prise par $f$ en un nombre $u$ est prise par $x \mapsto f(x - m)$ en $x = u + m$.

La courbe de $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ est donc celle de $x \mapsto ax^2$, décalée de $\alpha$ horizontalement et de $\beta$ verticalement.

Exemple 17. La courbe de $x \mapsto (x - 3)^2$ est la parabole de la fonction carré décalée de $3$ vers la droite. Celle de $x \mapsto (x - 3)^2 - 4$ est décalée en plus de $4$ vers le bas.

5.4 Extrémum et variations

Un carré est positif ou nul. Si $f(x) = (x - 3)^2 - 4$, alors $f(x) \geq -4$ pour tout réel $x$, et $f(3) = -4$ : le minimum de $f$ vaut $-4$ et il est atteint en $3$.

Propriété. Soit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$.

Le point de coordonnées $(\alpha\,;\beta)$ est le point le plus bas ou le plus haut de la parabole, et la droite verticale d'équation $x = \alpha$ est son axe de symétrie.

Exemple 18. Soit $f(x) = -(x - 3)^2 + 5$. Ici $a = -1 < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;3]$, décroissante sur $[3\,;+\infty[$, et son maximum vaut $5$, atteint en $3$.

5.5 Un peu d'histoire

On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolution d'équations du second degré. Le travail novateur d'Al-Khwârizmî reste en partie lié à la tradition : il s'appuie sur des considérations géométriques équivalentes à la forme canonique, comme notre carré complété, sans notation algébrique développée et sans nombres négatifs. Nos formules sont l'aboutissement d'un long cheminement vers une écriture efficace et concise.