Puissances entières, calculer une dérivée

7.1 Les puissances

Automatisme (puissances entières relatives). Pour $x \neq 0$ et $n$ entier :

• $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ ; ainsi $\dfrac1x = x^{-1}$ et $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ ;
• $x^p \times x^q = x^{p + q}$ et $\dfrac{x^p}{x^q} = x^{p - q}$ ;
• $x^0 = 1$.

7.2 Exposant positif

Avec la formule du produit, on monte marche après marche : $(x^3)' = (x^2 \times x)' = 2x \times x + x^2 \times 1 = 3x^2,$ $(x^4)' = (x^3 \times x)' = 3x^2 \times x + x^3 \times 1 = 4x^3.$ À chaque marche, l'exposant descend devant, et il diminue de $1$. Le procédé continue.

Propriété. Pour tout entier $n \geq 1$, la fonction $x \mapsto x^n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $(x^n)' = n\,x^{n - 1}$.

7.3 Exposant négatif

Pour $x \neq 0$, avec la formule de l'inverse : $\left(x^{-2}\right)' = \left(\frac{1}{x^2}\right)' = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} = -2\,x^{-3}.$ C'est la même formule, avec $n = -2$.

Propriété. Pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}$, la dérivée de $x \mapsto x^n$ est $x \mapsto n\,x^{n - 1}$. Si $n \geq 1$, c'est valable sur $\mathbb{R}$. Si $n \leq -1$, c'est valable sur $]{-\infty}\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$. Pour $n = 0$, la fonction est constante, égale à $1$, et sa dérivée est nulle.

Exemple 25. $(x^5)' = 5x^4$ ; $(x^{-3})' = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$ ; $\left(\dfrac{1}{x^5}\right)' = (x^{-5})' = -5x^{-6} = -\dfrac{5}{x^6}$.

7.4 Les deux tableaux à connaître

7.5 La méthode

1. Regarder la forme de l'expression : une somme, un produit, un inverse, un quotient, une puissance ?
2. Se demander si l'on peut simplifier avant de dériver.
3. Écrire $u$, $v$, $u'$ et $v'$, puis appliquer la formule.
4. Réduire le résultat, et préciser l'intervalle.

7.6 Exemples

Exemple 26 (une somme). Soit $f(x) = 2x^4 - \dfrac3x + 5$ sur $]0\,;+\infty[$. On dérive terme à terme : $f'(x) = 8x^3 + \frac{3}{x^2}.$

Exemple 27 (simplifier d'abord). Soit $g(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$. La formule du quotient convient, mais il est plus rapide d'écrire $g(x) = x - x^{-2}$. Alors $g'(x) = 1 + 2x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}.$

Exemple 28 (un produit). Soit $k(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Alors $k'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}}.$

Exemple 29 (un lampadaire). L'éclairement reçu par une surface placée à la distance $d$ d'une lampe de lampadaire, en mètres, est modélisé par $E(d) = \dfrac{1000}{d^2} = 1000\,d^{-2}$. Alors $E'(d) = -2000\,d^{-3} = -\dfrac{2000}{d^3}$. À $2$ mètres, $E(2) = 250$ et $E'(2) = -250$.