Devoir sur 20 : Fonction dérivée · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Soit $f(x) = x^4$ . Donner $f'(x)$ .
Soit $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ . Donner $f'(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac1x$ . Donner $f'(2)$ .
Soit $f(x) = \sqrt{x}$ . Donner $f'(9)$ .
Écrire $\dfrac{1}{x^3}$ sous la forme d'une puissance de $x$ .
Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction carré au point d'abscisse $-3$ .

Exercice 1 : deux démonstrations (4 points)

Soit $f(x) = \dfrac1x$ $f (x) = \frac{1}{x}$ , $a$ $a$ un nombre non nul et $h$ $h$ un nombre non nul, assez petit pour que $a + h$ $a + h$ soit du même signe que $a$ $a$ .
- a. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ vaut $\dfrac{-1}{a(a + h)}$ . (1,5 point)
- b. En déduire $f'(a)$ . (0,5 point)
Démontrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ . (2 points)

Exercice 2 : calculer des dérivées (4 points)

Calculer la fonction dérivée de chaque fonction sur l'intervalle donné. Chaque question vaut 1 point.

$f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)$ sur $\mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sur $]-2\,;+\infty[$
$\ell(x) = \dfrac{5}{x^2} + \sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$

Exercice 3 : de l'eau salée (4 points)

Une cuve contient $20$ litres d'eau pure. À l'instant $t = 0$ , on commence à y verser de l'eau salée, à raison de $1$ litre par minute. Cette eau contient $10$ grammes de sel par litre. La concentration en sel de la cuve, en grammes par litre, $t$ minutes plus tard, est modélisée par $c(t) = \frac{10t}{20 + t}, \quad \text{avec } t \geq 0.$

Calculer $c(0)$ et $c(20)$ , puis interpréter ces deux résultats. (0,5 point)
Montrer que $c'(t) = \dfrac{200}{(20 + t)^2}$ . (1,5 point)
Calculer $c'(20)$ , préciser son unité et interpréter ce nombre. (1 point)
Avec l'approximation linéaire, donner une valeur approchée de $c(22)$ . (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $f'(x) = 4x^3$ .
(1 pt) $f'(x) = 6x - 5$ .
(1 pt) $f'(2) = -\dfrac14$ .
(1 pt) $f'(9) = \dfrac16$ .
(1 pt) $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ .
(1 pt) $2 \times (-3) = -6$ .

Exercice 1

1. a. (1,5 pt) On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{a + h} - \frac1a = \frac{a - (a + h)}{a(a + h)} = \frac{-h}{a(a + h)}.$ En divisant par $h$ , qui n'est pas nul, le taux de variation vaut $\dfrac{-1}{a(a + h)}$ .

1. b. (0,5 pt) Quand $h$ se rapproche de $0$ , $a(a + h)$ se rapproche de $a^2$ . Le taux se rapproche donc de $-\dfrac{1}{a^2}$ , d'où $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$ .

2. (2 pts) La fonction n'est pas définie à gauche de $0$ : on prend $h > 0$ . Le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \times \sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{h}}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$ , $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$ , et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand qu'on veut. Le taux ne se rapproche d'aucun nombre : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ .

Exercice 2

1. (1 pt) On dérive terme à terme : $f'(x) = 6x^2 - 8x + 7$ .

2. (1 pt) Avec $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = 3x - 2$ : $g'(x) = 2x(3x - 2) + 3(x^2 + 1) = 9x^2 - 4x + 3$ .

3. (1 pt) Avec $u(x) = 3x - 1$ et $v(x) = x + 2$ : $k'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$ .

4. (1 pt) On écrit $\ell(x) = 5x^{-2} + \sqrt{x}$ , donc $\ell'(x) = -10x^{-3} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{10}{x^3} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Exercice 3

1. (0,5 pt) $c(0) = 0$ : au départ, l'eau de la cuve ne contient pas de sel. $c(20) = \dfrac{200}{40} = 5$ : au bout de $20$ minutes, la concentration est de $5$ grammes par litre.

2. (1,5 pt) Avec $u(t) = 10t$ et $v(t) = 20 + t$ , qui ne s'annule pas pour $t \geq 0$ : $c'(t) = \frac{10(20 + t) - 10t \times 1}{(20 + t)^2} = \frac{200}{(20 + t)^2}.$

3. (1 pt) $c'(20) = \dfrac{200}{1600} = \dfrac18 = 0{,}125$ . L'unité est le gramme par litre par minute. À la vingtième minute, la concentration augmente d'environ $0{,}125$ gramme par litre en une minute.

4. (1 pt) Avec $h = 2$ : $c(22) \approx 5 + 2 \times 0{,}125 = 5{,}25$ . La concentration vaut environ $5{,}25$ grammes par litre.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : des démonstrations rédigées, avec le choix de $a$ et de $h$ annoncé ; les mots justes (taux de variation, nombre dérivé, fonction dérivée, dérivable, intervalle) ; une phrase de conclusion à chaque question de l'exercice 3, avec l'unité ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).