Fonction valeur absolue

4.1 Définition

La valeur absolue d'un nombre $x$, notée $\lvert x \rvert$, est sa distance à $0$ sur la droite graduée. Une distance n'est jamais négative. On distingue deux cas : $\lvert x \rvert = x \text{ si } x \geq 0, \qquad \lvert x \rvert = -x \text{ si } x \leq 0.$

Attention : quand $x$ est négatif, $-x$ est positif.

Exemple 11. $\lvert 3 \rvert = 3$, $\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5$, $\lvert 0 \rvert = 0$ et $\lvert 2 - 7 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5$.

4.2 La courbe

La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$. On trace sa courbe cas par cas. Pour $x \geq 0$, c'est la demi-droite d'équation $y = x$, qui monte depuis l'origine. Pour $x \leq 0$, c'est la demi-droite d'équation $y = -x$, qui descend jusqu'à l'origine. La courbe a la forme d'un V, avec une pointe à l'origine.

4.3 Hors de zéro

Sur $]0\,;+\infty[$, on a $f(x) = x$ : la fonction est dérivable et $f'(x) = 1$.

Sur $]{-\infty}\,;0[$, on a $f(x) = -x$ : la fonction est dérivable et $f'(x) = -1$.

4.4 En zéro : deux cas

Propriété. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.

On raisonne par disjonction des cas. Pour $h \neq 0$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{\lvert h \rvert}{h}.$

• Si $h > 0$, alors $\lvert h \rvert = h$, et le taux vaut $\dfrac{h}{h} = 1$.
• Si $h < 0$, alors $\lvert h \rvert = -h$, et le taux vaut $\dfrac{-h}{h} = -1$.

Quand $h$ se rapproche de $0$, le taux vaut $1$ d'un côté et $-1$ de l'autre : il ne se rapproche pas d'un seul nombre. La fonction n'est donc pas dérivable en $0$.

Sur la courbe, les sécantes passant par l'origine ont pour pente $1$ à droite et $-1$ à gauche. Elles ne se rapprochent pas d'une même droite : il n'y a pas de tangente à l'origine. Une pointe sur une courbe signale un point où la fonction n'est pas dérivable.

4.5 Un contre-exemple utile

La proposition « toute fonction définie sur un intervalle y est dérivable » est fausse. Elle parle de toutes les fonctions : un seul contre-exemple suffit. La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$, et elle n'est pas dérivable en $0$.

« $f$ est dérivable sur $I$ » signifie : $f$ est dérivable en tout nombre de $I$. La négation est donc : il existe au moins un nombre de $I$ en lequel $f$ n'est pas dérivable. Un seul point suffit.

4.6 Une situation

Exemple 12 (un train). Un train roule à $30$ mètres par seconde sur une voie droite et passe devant une gare à l'instant $t = 0$, sans s'arrêter. Sa distance à la gare, en mètres, est $d(t) = 30\,\lvert t \rvert$, où $t$ est en secondes.

Pour $t < 0$, la distance s'écrit $-30t$ : elle diminue de $30$ mètres par seconde. Pour $t > 0$, elle s'écrit $30t$ : elle augmente de $30$ mètres par seconde. En $t = 0$, le taux de variation vaut $30$ d'un côté et $-30$ de l'autre : il n'y a pas de nombre dérivé pour cette distance, alors que la vitesse du train, elle, n'a pas changé.