Produit scalaire dans l'espace

1.1 Rappels de Première (dans le plan)

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan, le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ se calcule :

• avec un angle : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta$, où $\theta$ est l'angle géométrique entre les deux vecteurs ;
• avec une projection : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$, où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Si $\overrightarrow{AH}$ a le même sens que $\overrightarrow{AB}$, c'est $AB \times AH$ ; sinon, c'est $-AB \times AH$ ;
• avec les normes : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac12\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right)$.

1.2 Définition dans l'espace

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. On choisit un point $A$, puis les points $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$. Les trois points $A$, $B$, $C$ sont toujours dans un même plan (au moins un).

Définition. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ calculé dans un plan qui contient $A$, $B$ et $C$. Le résultat ne dépend ni du point $A$ ni du plan choisi (admis).

Ainsi, toutes les formules de Première restent vraies dans l'espace : formule avec le cosinus, formule avec la projection, formule avec les normes. En particulier, $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert\vec{u}\rVert^2$, et si l'un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Exemple 1. Dans le cube, calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Les points $A$, $B$, $C$ sont dans la face $ABCD$, qui est un carré. Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est $B$. Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2 = 1$.

1.3 Propriétés de calcul

Propriétés (admises). Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ de l'espace et tout réel $k$ :

• symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;
• bilinéarité : $\vec{u} \cdot \left(\vec{v} + \vec{w}\right) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $\left(k\vec{u}\right) \cdot \vec{v} = k\left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)$ ;
• carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert\vec{u}\rVert^2$.

La bilinéarité permet de développer comme un produit de nombres. La leçon 2 montre que ces propriétés se lisent aussi sur les coordonnées.

Exemple 2. Dans le cube, calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG}$.

Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$. On développe : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} = AB^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG}.$ La face $ABCD$ est un carré, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$. De plus $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{BF}$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BF} = 0$ car la face $ABFE$ est un carré. Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} = 1$.

Exemple 3. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\lVert\vec{u}\rVert = 3$, $\lVert\vec{v}\rVert = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$. Calculer $\left(2\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} - 3\vec{v}\right)$.

On développe : $2\,\vec{u} \cdot \vec{u} - 6\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - 3\,\vec{v} \cdot \vec{v} = 2 \times 9 - 6 \times (-1) + (-1) - 3 \times 4 = 18 + 6 - 1 - 12 = 11$.

1.4 Orthogonalité de deux vecteurs

Définition. Deux vecteurs non nuls $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux si les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. On note $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Caractérisation. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Pourquoi ? Dans un plan qui contient $A$, $B$ et $C$, c'est la caractérisation vue en Première.

Exemple 4. Dans le cube, montrer que $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont orthogonaux.

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$, donc $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AE} = 0 + 0 = 0$, car les faces $ABFE$ et $ADHE$ sont des carrés. Les vecteurs sont orthogonaux, alors que les droites $(BD)$ et $(AE)$ ne se coupent pas : dans l'espace, l'orthogonalité ne demande pas que les droites soient sécantes.

Exemple 5 (tétraèdre régulier). $ABCD$ est un tétraèdre régulier d'arête $a$ : ses six arêtes mesurent $a$, et ses quatre faces sont des triangles équilatéraux.

1. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \times a \times \cos 60° = \dfrac{a^2}{2}$. De même, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \dfrac{a^2}{2}$.
2. $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{a^2}{2} - \dfrac{a^2}{2} = 0$.

Les arêtes opposées $[AB]$ et $[CD]$ sont orthogonales.

1.5 Un peu d'histoire

Le programme rappelle qu'en 1839, dans sa théorie des forces et des marées, Grassmann propose des règles de calcul sur les vecteurs de l'espace, dont un « produit linéaire » qui utilise la projection orthogonale : il deviendra notre produit scalaire. Au XIXᵉ siècle, cette notion se construit en même temps que celle de travail d'une force en physique.