Orthogonalité et distances

1. Question 1 sur 20Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace vérifient $\lVert\vec{u}\rVert = 2$ , $\lVert\vec{v}\rVert = 3$ , et l'angle entre eux mesure $60°$ . Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} =$

   A $3$ B $6$ C $3\sqrt3$ D $1{,}5$

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   Réponse A. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 \times \cos 60° = 6 \times \frac12 = 3$ .

2. Question 2 sur 20Dans le cube, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =$

   A $1$ B $\sqrt2$ C $0$ D $2$

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   Réponse A. Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$ , donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^2 = 1$ .

3. Question 3 sur 20Dans le cube, $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =$

   A $0$ B $1$ C $-1$ D $\sqrt2$

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   Réponse A. $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$ , et $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{BA}$ et à $\overrightarrow{AD}$ .

4. Question 4 sur 20On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{w} = -1$ . Alors $\vec{u} \cdot \left(2\vec{v} - \vec{w}\right) =$

   A $7$ B $5$ C $6$ D $-7$

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   Réponse A. Par bilinéarité, $2 \times 3 - (-1) = 7$ .

5. Question 5 sur 20Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}\,(1\,;-2\,;3)$ et $\vec{v}\,(2\,;1\,;0)$ sont

   A orthogonaux B colinéaires C de même norme D opposés

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   Réponse A. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 2 + 0 = 0$ . Leurs normes sont $\sqrt{14}$ et $\sqrt5$ .

6. Question 6 sur 20Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur $\vec{u}\,(2\,;-1\,;2)$ vaut

   A $3$ B $9$ C $\sqrt5$ D $5$

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   Réponse A. $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt9 = 3$ .

7. Question 7 sur 20Dans un repère orthonormé, $A(1\,;0\,;-2)$ et $B(3\,;-2\,;-1)$ . La distance $AB$ vaut

   A $3$ B $9$ C $\sqrt5$ D $1$

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   Réponse A. $\overrightarrow{AB}\,(2\,;-2\,;1)$ et $AB = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ .

8. Question 8 sur 20Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 =$

   A $\lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2$ B $\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2$ C $\lVert\vec{u}\rVert^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2$ D $\left(\lVert\vec{u}\rVert + \lVert\vec{v}\rVert\right)^2$

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   Réponse A. On développe par bilinéarité, avec $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ . La réponse B n'est vraie que si $\vec{u} \perp \vec{v}$ .

9. Question 9 sur 20$ABC$ est un triangle tel que $AB = 3$ , $AC = 4$ et $BC = 5$ . Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =$

   A $0$ B $12$ C $5$ D $-12$

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   Réponse A. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac12\left(9 + 16 - 25\right) = 0$ : le triangle est rectangle en $A$ .

10. Question 10 sur 20Dans un repère orthonormé, l'angle entre $\vec{u}\,(1\,;1\,;0)$ et $\vec{v}\,(0\,;1\,;1)$ mesure

    A $60°$ B $45°$ C $30°$ D $90°$

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    Réponse A. $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac12$ .

11. Question 11 sur 20Dans le cube, les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont

    A orthogonales mais pas perpendiculaires B perpendiculaires C parallèles D ni orthogonales ni parallèles

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    Réponse A. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG} = 0$ , mais les deux droites ne se coupent pas.

12. Question 12 sur 20Une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle est orthogonale à

    A deux droites sécantes de ce plan B une droite de ce plan C deux droites parallèles de ce plan D une droite parallèle à ce plan

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    Réponse A. C'est le théorème du cours. Avec une seule direction (réponses B et C), on ne contrôle pas tout le plan.

13. Question 13 sur 20Dans le cube, la droite $(AG)$ est orthogonale au plan

    A $(BDE)$ B $(ABC)$ C $(ABF)$ D $(ACG)$

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    Réponse A. $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ et $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BE} = 0$ . La droite $(AG)$ est contenue dans le plan $(ACG)$ .

14. Question 14 sur 20Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(0\,;1\,;1)$ et il est normal à $\vec{n}\,(1\,;2\,;-1)$ . Quel point appartient à $\mathcal{P}$ ?

    A $(1\,;0\,;0)$ B $(1\,;1\,;1)$ C $(0\,;0\,;0)$ D $(2\,;1\,;1)$

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    Réponse A. Pour $M(1\,;0\,;0)$ , $\overrightarrow{AM}\,(1\,;-1\,;-1)$ et $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 1 - 2 + 1 = 0$ . Pour les autres points, on trouve $1$ , $-1$ et $2$ .

15. Question 15 sur 20Le plan médiateur du segment $[AB]$ est

    A le plan passant par le milieu de $[AB]$ et normal à $\overrightarrow{AB}$ B un plan contenant $A$ et $B$ C le plan passant par $A$ et normal à $\overrightarrow{AB}$ D l'ensemble des points $M$ tels que $MA + MB = AB$

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    Réponse A. C'est l'ensemble des points $M$ tels que $MA = MB$ ; la réponse D décrit le segment $[AB]$ .

16. Question 16 sur 20Une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ est orthogonale au plan de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si

    A $\vec{w}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires B $\vec{w} \cdot \vec{n} = 0$ C $\lVert\vec{w}\rVert = \lVert\vec{n}\rVert$ D $\vec{w} \cdot \vec{n} = 1$

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    Réponse A. La réponse B caractérise une droite parallèle au plan ; les conditions C et D ne caractérisent aucune position particulière.

17. Question 17 sur 20$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ , et $N$ est un point de $\mathcal{P}$ . Si $MH = 3$ et $HN = 4$ , alors $MN =$

    A $5$ B $7$ C $1$ D $\sqrt7$

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    Réponse A. Le triangle $MHN$ est rectangle en $H$ : $MN^2 = 9 + 16 = 25$ .

18. Question 18 sur 20Dans le cube, la distance du point $A$ au plan $(BDE)$ vaut

    A $\dfrac{\sqrt3}{3}$ B $\sqrt3$ C $1$ D $\dfrac{\sqrt2}{2}$

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    Réponse A. Le projeté de $A$ est le point $K$ tel que $\overrightarrow{AK} = \frac13\overrightarrow{AG}$ , donc la distance vaut $\frac13 AG = \frac{\sqrt3}{3}$ .

19. Question 19 sur 20Un tétraèdre a une base d'aire $6$ et une hauteur correspondante de $4$ . Son volume vaut

    A $8$ B $24$ C $12$ D $4$

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    Réponse A. $V = \frac13 \times 6 \times 4 = 8$ .

20. Question 20 sur 20Dans le cube, le volume du tétraèdre $ABDE$ vaut

    A $\dfrac16$ B $\dfrac13$ C $\dfrac12$ D $1$

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    Réponse A. Base $ABD$ d'aire $\frac12$ , hauteur $AE = 1$ : $V = \frac13 \times \frac12 \times 1 = \frac16$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.