Reconnaître l'objet à dénombrer

8.1 Deux questions à se poser

Pour choisir $k$ objets parmi $n$, on se demande : l'ordre compte-t-il ? et peut-on reprendre plusieurs fois le même objet ?

Repères de vocabulaire : des tirages « successifs avec remise » donnent des $k$-uplets ; « successifs sans remise », des $k$-uplets d'éléments distincts ; « simultanés », des parties.

8.2 Trois outils pour combiner

• Des cas qui ne se recouvrent pas (« ou ») : on additionne (principe additif).
• Des choix successifs (« puis », « et ») : on multiplie (principe multiplicatif).
• « Au moins un » : on compte souvent le complémentaire (« aucun »), puis on le retire du total.

Pour ne rien oublier ni compter deux fois, on s'aide d'une représentation : diagramme, tableau, arbre.

8.3 Exemples

Exemple 22 (un digicode). Un digicode demande une lettre parmi $A$, $B$, $C$, puis trois chiffres. L'ordre compte et les chiffres peuvent se répéter : $3 \times 10^3 = 3\,000$ codes. Si les trois chiffres doivent être différents : $3 \times 10 \times 9 \times 8 = 2\,160$ codes.

Exemple 23 (une équipe). Un club compte $10$ filles et $8$ garçons. On forme une équipe de $4$ joueurs, sans poste particulier.

• Nombre d'équipes. L'ordre ne compte pas : une équipe est une partie à $4$ éléments des $18$ membres. Il y en a $\dbinom{18}{4} = 3\,060$.
• Exactement deux filles et deux garçons. On choisit les filles, puis les garçons : $\dbinom{10}{2} \times \dbinom{8}{2} = 45 \times 28 = 1\,260$ équipes.
• Au moins un garçon. Le contraire est « aucun garçon », c'est-à-dire quatre filles : $\dbinom{10}{4} = 210$ équipes. Il reste $3\,060 - 210 = 2\,850$ équipes avec au moins un garçon.
• Une probabilité. Si l'équipe est tirée au sort, toutes les équipes ont la même probabilité. La probabilité d'obtenir deux filles et deux garçons est $\dfrac{1\,260}{3\,060} = \dfrac{7}{17} \approx 0{,}41$.

Exemple 24 (des mots avec des lettres répétées). Combien de mots différents peut-on écrire avec les six lettres du mot ANANAS ? On choisit les $3$ positions des $A$ parmi les $6$ : $\dbinom63 = 20$ choix ; puis les $2$ positions des $N$ parmi les $3$ qui restent : $\dbinom32 = 3$ choix ; le $S$ prend la dernière place. Il y a $20 \times 3 = 60$ mots. Attention : ce n'est pas $6! = 720$, car échanger deux $A$ ne change pas le mot.