Dénombrement

1. Question 1 sur 20$A$ et $B$ sont deux ensembles disjoints, avec $\mathrm{Card}(A) = 7$ et $\mathrm{Card}(B) = 5$ . Alors $\mathrm{Card}(A \cup B) =$

   A $2$ B $12$ C $35$ D on ne peut pas savoir

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   Réponse B. Les ensembles sont disjoints : principe additif, $7 + 5 = 12$ .

2. Question 2 sur 20Dans un groupe de $30$ personnes, $12$ parlent anglais, $9$ parlent espagnol et $5$ parlent les deux langues. Combien ne parlent aucune des deux ?

   A $9$ B $14$ C $16$ D $4$

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   Réponse B. Au moins une langue : $(12 - 5) + (9 - 5) + 5 = 16$ personnes. Aucune : $30 - 16 = 14$ .

3. Question 3 sur 20$\mathrm{Card}(E) = 4$ et $\mathrm{Card}(F) = 6$ . Alors $\mathrm{Card}(E \times F) =$

   A $10$ B $24$ C $4^6$ D $6^4$

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   Réponse B. Principe multiplicatif : $4 \times 6 = 24$ couples.

4. Question 4 sur 20Le nombre de triplets d'éléments d'un ensemble à $5$ éléments est

   A $15$ B $60$ C $125$ D $243$

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   Réponse C. $5^3 = 125$ : l'ordre compte et les répétitions sont permises.

5. Question 5 sur 20Un ensemble à $6$ éléments a

   A $12$ parties B $36$ parties C $64$ parties D $720$ parties

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   Réponse C. $2^6 = 64$ parties, en comptant l'ensemble vide et l'ensemble entier.

6. Question 6 sur 20Dans $E = \{a\,;b\,;c\,;d\}$ , la partie codée par $(0\,;1\,;1\,;0)$ est

   A $\{a\,;d\}$ B $\{b\,;c\}$ C $\{b\,;c\,;d\}$ D $\{a\,;b\,;c\,;d\}$

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   Réponse B. Les $1$ sont aux deuxième et troisième places : la partie contient $b$ et $c$ .

7. Question 7 sur 20$7! =$

   A $49$ B $720$ C $5\,040$ D $40\,320$

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   Réponse C. $7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5\,040$ .

8. Question 8 sur 20Le nombre de triplets d'éléments distincts d'un ensemble à $6$ éléments est

   A $20$ B $120$ C $216$ D $18$

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   Réponse B. $6 \times 5 \times 4 = 120$ . La réponse A compte les parties à $3$ éléments, où l'ordre ne compte pas.

9. Question 9 sur 20$\dbinom62 =$

   A $12$ B $15$ C $30$ D $36$

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   Réponse B. $\dbinom62 = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ .

10. Question 10 sur 20On tire simultanément $3$ cartes d'un jeu de $32$ cartes. Le nombre de tirages possibles est

    A $32^3$ B $32 \times 31 \times 30$ C $\dbinom{32}{3}$ D $3^{32}$

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    Réponse C. Un tirage simultané est une partie à $3$ éléments : l'ordre ne compte pas.

11. Question 11 sur 20Pour $0 \leq k \leq n$ , $\dbinom{n}{k} =$

    A $\dfrac{n!}{k!}$ B $\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}$ C $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ D $\dfrac{n^k}{k!}$

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    Réponse B. La réponse C est le nombre de $k$ -uplets d'éléments distincts : il faut encore diviser par $k!$ .

12. Question 12 sur 20$\dbinom{25}{24} =$

    A $1$ B $24$ C $25$ D $600$

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    Réponse C. Par symétrie, $\dbinom{25}{24} = \dbinom{25}{1} = 25$ .

13. Question 13 sur 20Pour $0 \leq k \leq n - 1$ , la relation de Pascal s'écrit

    A $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ B $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n}{k+2}$ C $\dbinom{n}{k} \times \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ D $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n+1}{k+1}$

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    Réponse A. Par exemple, $\dbinom41 + \dbinom42 = 4 + 6 = 10 = \dbinom52$ .

14. Question 14 sur 20Dans un tournoi, $8$ équipes se rencontrent une fois chacune. Le nombre de matchs est

    A $16$ B $28$ C $56$ D $64$

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    Réponse B. Un match est une paire d'équipes : $\dbinom82 = \dfrac{8 \times 7}{2} = 28$ .

15. Question 15 sur 20$\dbinom50 + \dbinom51 + \dbinom52 + \dbinom53 + \dbinom54 + \dbinom55 =$

    A $10$ B $25$ C $31$ D $32$

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    Réponse D. La somme de la ligne $5$ du triangle de Pascal vaut $2^5 = 32$ .

16. Question 16 sur 20Le nombre de mots de longueur $7$ , écrits avec deux lettres $1$ et cinq lettres $0$ , est

    A $14$ B $21$ C $42$ D $128$

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    Réponse B. On choisit les $2$ positions des lettres $1$ parmi $7$ : $\dbinom72 = 21$ .

17. Question 17 sur 20Après L = [1, 3, 3, 1] , la liste [1] + [L[k-1] + L[k] for k in range(1, len(L))] + [1] vaut

    A [1, 3, 3, 1, 1] B [1, 4, 6, 4, 1] C [1, 6, 6, 1] D [4, 6, 4]

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    Réponse B. C'est la ligne suivante du triangle de Pascal : $1$ , puis $1 + 3$ , $3 + 3$ , $3 + 1$ , puis $1$ .

18. Question 18 sur 20len([[a, b] for a in range(5) for b in range(5) if a < b]) vaut

    A $10$ B $20$ C $25$ D $5$

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    Réponse A. La condition $a < b$ donne chaque partie à deux éléments de $\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\}$ une seule fois : $\dbinom52 = 10$ .

19. Question 19 sur 20Une association de $10$ membres désigne un président et un trésorier. Le nombre de choix possibles est

    A $\dbinom{10}{2}$ B $90$ C $100$ D $20$

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    Réponse B. Les deux postes sont différents, l'ordre compte : $10 \times 9 = 90$ . La réponse A ( $45$ ) oublie les postes.

20. Question 20 sur 20Le nombre de codes de $4$ chiffres (de $0000$ à $9999$ ) qui contiennent au moins un $0$ est

    A $1\,000$ B $3\,439$ C $4\,000$ D $6\,561$

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    Réponse B. Le contraire est « aucun $0$ » : $9^4 = 6\,561$ codes. Il reste $10\,000 - 6\,561 = 3\,439$ codes.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.