Second degré et dérivation

5.1 Variations et extrémum

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x) = 2ax + b.$ C'est une fonction affine, qui s'annule en $-\dfrac{b}{2a}$.

Si $a > 0$ : $f'$ est négative, puis positive. La fonction $f$ est décroissante, puis croissante.

Si $a < 0$ : $f'$ est positive, puis négative. La fonction $f$ est croissante, puis décroissante.

Dans les deux cas, l'extrémum vaut $f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$.

Allure. La courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, et vers le bas si $a < 0$. Le signe du coefficient de $x^2$ donne donc l'allure de la courbe.

Exemple 21. Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Alors $f'(x) = 4x - 8$, nulle en $2$. Comme $a = 2 > 0$, $f$ admet un minimum, égal à $f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$.

Exemple 22. Soit $g(x) = -x^2 + 6x - 5$. Alors $g'(x) = -2x + 6$, nulle en $3$. Comme $a = -1 < 0$, $g$ admet un maximum, égal à $g(3) = -9 + 18 - 5 = 4$.

5.2 Le lien avec la forme canonique

Au chapitre 1, on a écrit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, et on a lu l'extrémum $\beta$, atteint en $\alpha$. Pour la fonction de l'exemple 21, $f(x) = 2(x - 2)^2 - 5$ : on lit $\alpha = 2$ et $\beta = -5$.

La dérivée donne les mêmes nombres : $\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha).$

Si la forme canonique est donnée, on lit. Sinon, la dérivée est souvent plus rapide.

5.3 En contexte

Exemple 23 (un ballon de rugby). La hauteur d'un ballon, en mètres, est modélisée par $h(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$, où $x$ est la distance parcourue au sol, en mètres, avec $0 \leq x \leq 40$. Alors $h'(x) = -0{,}04x + 0{,}8$, nulle pour $x = 20$. Comme $a < 0$, c'est un maximum, et $h(20) = -8 + 16 = 8$. Le ballon monte à $8$ mètres de hauteur, à $20$ mètres du joueur. Il retombe à $40$ mètres, car $h(40) = 0$.