Extrémum et tangente horizontale

4.1 Extrémum local

Définitions. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$ un nombre de $I$.

• $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert contenant $a$, inclus dans $I$, sur lequel $f(a)$ est la plus grande valeur de $f$.
• $f$ admet un minimum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert contenant $a$, inclus dans $I$, sur lequel $f(a)$ est la plus petite valeur de $f$.

Un maximum ou un minimum s'appelle un extrémum. « Local » veut dire : autour de $a$, pas forcément partout.

Exemple 18. Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$, $f(-1) = 3$ est un maximum local, puisque $f(x) \leq 3$ pour $x$ assez proche de $-1$. Mais $f(3) = 19$ : sur $\mathbb{R}$, $3$ n'est pas la plus grande valeur de $f$.

4.2 Nombre dérivé en un extrémum

Propriété. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et $a$ un nombre de $I$. Si $f$ admet un extrémum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ : la tangente au point d'abscisse $a$ est horizontale.

Pourquoi. Prenons un maximum local en $a$. Un peu à gauche de $a$, $f(x) \leq f(a)$ et $x - a < 0$ : le taux de variation entre $a$ et $x$ est positif ou nul. Un peu à droite, il est négatif ou nul. Or tous ces taux se rapprochent du même nombre, $f'(a)$. Ce nombre est à la fois positif ou nul, et négatif ou nul : il vaut $0$.

4.3 La réciproque est fausse

La fonction cube fournit le contre-exemple. Pour $f(x) = x^3$, on a $f'(0) = 0$ : la tangente à l'origine est horizontale. Mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (exemple 8) : elle n'a pas d'extrémum en $0$. La courbe traverse sa tangente.

Avec le vocabulaire de la logique :

• « extrémum local en $a$ » implique « $f'(a) = 0$ » : c'est vrai. La condition $f'(a) = 0$ est nécessaire ;
• « $f'(a) = 0$ » n'implique pas « extrémum local en $a$ » : la réciproque est fausse. La condition n'est pas suffisante.

4.4 Une condition suffisante

Propriété. Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et $a$ un nombre de $I$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extrémum local en $a$ :

• si $f'$ passe de $+$ à $-$, c'est un maximum local ;
• si $f'$ passe de $-$ à $+$, c'est un minimum local.

Si $f'$ s'annule en $a$ sans changer de signe, il n'y a pas d'extrémum en $a$ : $f$ continue dans le même sens.

Exemple 19. Soit $f(x) = x^4 - 2x^2$ sur $\mathbb{R}$. Alors $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1).$

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

La fonction admet un minimum local égal à $-1$, en $-1$ et en $1$, et un maximum local égal à $0$, en $0$. Elle est paire (leçon 1), et le tableau le confirme.

Exemple 20. Soit $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ sur $\mathbb{R}$. Alors $g'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. La dérivée s'annule en $1$ sans changer de signe : $g$ est strictement croissante, et elle n'a pas d'extrémum en $1$.

4.5 Deux cas à part

À la borne d'un intervalle. Sur $[0\,;1]$, la fonction $f(x) = x$ a un minimum en $0$, alors que $f'(0) = 1$. C'est pourquoi la propriété demande un intervalle ouvert.

Là où la fonction n'est pas dérivable. La fonction valeur absolue a un minimum en $0$, mais pas de nombre dérivé en $0$ (chapitre 6). La courbe y a une pointe, et non une tangente horizontale.