L'équation différentielle $y' = ay + f$

7.1 Le même raisonnement

Dans cette leçon, $a$ est un réel et $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Le second membre n'est plus constant. On ne sait pas toujours trouver une solution, mais dès qu'on en connaît une, on les a toutes.

Théorème. Soit $p$ une solution particulière de l'équation $(E) : y' = ay + f$ sur $I$. Les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x), \qquad \text{où } C \text{ est un réel quelconque.}$

Justification. Comme $p$ est solution, $p' = ap + f$. Pour toute fonction $y$ dérivable sur $I$, posons $z = y - p$. Alors $y' = ay + f \iff y' - p' = ay + f - ap - f \iff z' = az.$ Le raisonnement de la leçon 5 s'applique sur l'intervalle $I$ : $z(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$, donc $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x)$.

La leçon 6 est le cas où $f$ est la constante $b$ et $p$ la solution constante.

7.2 La méthode

1. Vérifier que la fonction $p$ donnée est solution de $(E)$ (ou la déterminer, si l'énoncé en donne la forme).
2. Écrire les solutions de $y' = ay$.
3. Ajouter $p$ : les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x)$.
4. Utiliser la condition initiale, s'il y en a une, pour trouver $C$.

Attention à ne pas confondre : on ajoute $p$, et non pas $f$.

Exemple 35. Soit $(E) : y' = 2y - 2x + 1$. Vérifier que $p : x \mapsto x$ est solution, puis résoudre $(E)$. $p'(x) = 1$ et $2p(x) - 2x + 1 = 2x - 2x + 1 = 1$ : $p$ est solution. Les solutions de $(E)$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} + x$.

Exemple 36. Soit $(E) : y' + y = 2\,\mathrm{e}^{-x}$. Vérifier que $p : x \mapsto 2x\,\mathrm{e}^{-x}$ est solution, puis trouver la solution telle que $y(0) = 1$. On a $(E) \iff y' = -y + 2\,\mathrm{e}^{-x}$. De plus $p'(x) = 2\,\mathrm{e}^{-x} - 2x\,\mathrm{e}^{-x}$, donc $p'(x) + p(x) = 2\,\mathrm{e}^{-x}$ : $p$ est solution. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x} + 2x\,\mathrm{e}^{-x} = (2x + C)\,\mathrm{e}^{-x}$. La condition $y(0) = C = 1$ donne la solution $x \mapsto (2x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}$.

Exemple 37. Soit $(E) : y' = y - 2\sin x$. La fonction $p : x \mapsto \sin x + \cos x$ est solution : $p'(x) = \cos x - \sin x$ et $p(x) - 2\sin x = \cos x - \sin x$. Les solutions de $(E)$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^x + \sin x + \cos x$.

Exemple 38 (trouver $p$ quand sa forme est donnée). Soit $(E) : y' = 2y + 4x$. On cherche une solution de la forme $p(x) = \alpha x + \beta$. Alors $p'(x) = \alpha$, et $(E)$ donne, pour tout réel $x$, $\alpha = 2\alpha x + 2\beta + 4x, \quad\text{soit}\quad (2\alpha + 4)x + 2\beta - \alpha = 0.$ Cette égalité vraie pour tout $x$ impose $2\alpha + 4 = 0$ et $2\beta - \alpha = 0$ : $\alpha = -2$ et $\beta = -1$. Donc $p(x) = -2x - 1$, et les solutions de $(E)$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 2x - 1$.

7.3 Un problème : la serre au petit matin

Exemple 39. Le chauffage d'une serre s'éteint à $6$ heures du matin. On note $t$ le temps écoulé depuis ce moment, en heures. La température extérieure monte régulièrement : elle vaut $10 + t$ degrés Celsius pendant les six heures suivantes. On admet que la température $T(t)$ de la serre vérifie $T' = -0{,}5\,\big(T - (10 + t)\big), \qquad T(0) = 20.$ En développant : $T' = -0{,}5\,T + 5 + 0{,}5\,t$. Solution particulière. La fonction $p : t \mapsto t + 8$ convient : $p'(t) = 1$ et $-0{,}5(t + 8) + 5 + 0{,}5t = 1$. Toutes les solutions. $T(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + t + 8$. La condition $T(0) = C + 8 = 20$ donne $C = 12$ : $T(t) = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + t + 8.$ Lecture. $T'(t) = -6\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 1$ s'annule pour $\mathrm{e}^{-0{,}5t} = \dfrac16$, soit $t = 2\ln 6 \approx 3{,}58$. La serre se refroidit jusqu'à ce moment, vers $9$ h $35$, où sa température minimale vaut $T(2\ln 6) = 10 + 2\ln 6 \approx 13{,}6$ °C, puis elle se réchauffe en suivant l'extérieur.