Tangente à une courbe

3.1 La tangente, limite des sécantes

Sur la courbe de la fonction carré, fixons $A(1\,;1)$ et prenons le point $M$ d'abscisse $1 + h$. La sécante $(AM)$ a pour pente $2 + h$. Faisons glisser $M$ vers $A$ : la sécante pivote autour de $A$, et sa pente se rapproche de $2$, que $M$ arrive par la droite ou par la gauche. Les sécantes se rapprochent d'une même droite, qui passe par $A$ et dont la pente vaut $2$ : c'est la tangente à la courbe en $A$. La vidéo montre ce mouvement.

3.2 Définition

La tangente à la courbe de $f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est la droite qui passe par $A(a\,;f(a))$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$.

Autrement dit : le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.

Attention. Une tangente n'est pas « une droite qui touche la courbe en un seul point ». Elle peut recouper la courbe plus loin. Ce qui compte, c'est qu'au voisinage de $A$, la droite épouse la courbe.

3.3 Lire un nombre dérivé sur un graphique

1. Repérer deux points de la tangente, de préférence aux nœuds du quadrillage.
2. Calculer le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal.

Exemple 10. Sur la courbe d'une fonction $f$ :

• au point $A(1\,;3)$, la tangente passe aussi par $(2\,;5)$ : on avance de $1$, on monte de $2$, donc $f'(1) = 2$ ;
• au point $B(3\,;5)$, la tangente est horizontale, donc $f'(3) = 0$ ;
• au point $C(5\,;3)$, la tangente passe aussi par $(6\,;1)$ : on avance de $1$, on descend de $2$, donc $f'(5) = -2$.

Si $f'(a) > 0$, la tangente monte quand on la parcourt vers la droite. Si $f'(a) < 0$, elle descend. Si $f'(a) = 0$, elle est horizontale.

3.4 Tracer une droite

Automatisme (tracer et lire une droite).

• Pour tracer $y = 2x - 1$ : on place le point $(0\,;-1)$ ; le coefficient directeur $2$ dit « on avance de $1$, on monte de $2$ ».
• Pour un coefficient directeur $-\dfrac12$ : on avance de $2$, on descend de $1$, pour rester sur le quadrillage.
• Pour lire l'équation réduite $y = mx + p$ : on lit $p$, l'ordonnée à l'origine, puis la pente $m$.

3.5 Construire une tangente

Pour construire la tangente au point d'abscisse $a$, connaissant $f(a)$ et $f'(a)$ : on place le point $A(a\,;f(a))$, on suit la pente pour obtenir un deuxième point, et on trace la droite.

Exemple 11. Si $f(1) = 3$ et $f'(1) = -2$ : depuis $A(1\,;3)$, on avance de $1$ et on descend de $2$, on arrive en $(2\,;1)$. Si $f(3) = 2$ et $f'(3) = \dfrac12$ : depuis $B(3\,;2)$, on avance de $2$ et on monte de $1$, on arrive en $(5\,;3)$.

La courbe vient s'appuyer sur ses tangentes : elles donnent sa direction en chaque point.