Devoir sur 20 : Sinus et cosinus · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée, réglée en radians. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Donner la valeur exacte de $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ , $\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $\cos\dfrac{7\pi}{3}$ . (1,5 point)
On sait que $x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ et que $\sin x = \dfrac{5}{13}$ . Calculer $\cos x$ . (0,5 point)
Résoudre sur $[-\pi\,;\pi]$ $[- π; π]$ :
- a. $\cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ (1 point)
- b. $\sin x = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (1 point)
- c. $2\cos x - 1 > 0$ (1 point)
- d. $\sin x \leq -\dfrac12$ (1 point)

Exercice 2 (9 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin^2 x + \cos x$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Montrer que $f$ est paire et périodique de période $2\pi$ . Sur quel intervalle suffit-il de l'étudier ? (1,5 point)
Montrer que $f'(x) = \sin x\,(2\cos x - 1)$ . (1,5 point)
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\pi]$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$ . (2,5 points)
Montrer que $f(x) - 1 = \cos x\,(1 - \cos x)$ , puis résoudre $f(x) = 1$ sur $[-\pi\,;\pi]$ . (1,5 point)
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ . (1 point)
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0\,;\pi]$ , et en donner une valeur approchée au centième. (1 point)

Exercice 3 (5 points)

Un plombier doit faire passer un tube rigide d'un couloir à un autre. Les deux couloirs sont larges de $1{,}20$ m et se rejoignent à angle droit. On tient le tube à plat. Dans une position où il touche le coin intérieur et les deux murs extérieurs, il fait un angle $\theta \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ avec le mur du premier couloir, et sa longueur vaut alors $L(\theta) = \frac{1{,}2}{\sin\theta} + \frac{1{,}2}{\cos\theta}.$

Déterminer les limites de $L$ en $0$ et en $\dfrac{\pi}{2}$ . (1 point)
Montrer que $L'(\theta) = \dfrac{1{,}2\left(\sin^3\theta - \cos^3\theta\right)}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$ . (1,5 point)
Justifier que, sur $\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ , $L'(\theta)$ a le signe de $\sin\theta - \cos\theta$ , puis dresser le tableau de variations de $L$ . (1,5 point)
Un tube passe le virage si sa longueur ne dépasse pas le minimum de $L$ . Un tube de $3{,}20$ m passe-t-il ? Et un tube de $3{,}50$ m ? (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1,5 pt) $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; $\quad \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ ; $\quad \cos\dfrac{7\pi}{3} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\right) = \dfrac12$ .

2. (0,5 pt) $\cos^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$ , et $\cos x \leq 0$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ : $\cos x = -\dfrac{12}{13}$ .

3.a. (1 pt) $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$ , donc $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac{5\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}$ .

3.b. (1 pt) $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right\}$ .

3.c. (1 pt) $\cos x > \dfrac12$ : $\mathcal{S} = \left]-\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{\pi}{3}\right[$ .

3.d. (1 pt) On garde l'arc sous la droite d'ordonnée $-\dfrac12$ : $\mathcal{S} = \left[-\dfrac{5\pi}{6}\,;-\dfrac{\pi}{6}\right]$ .

Exercice 2

1. (1,5 pt) $f(-x) = (-\sin x)^2 + \cos x = f(x)$ : $f$ est paire. $f(x + 2\pi) = f(x)$ , car $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ . On étudie $f$ sur $[-\pi\,;\pi]$ , puis sur $[0\,;\pi]$ par parité.

2. (1,5 pt) $f'(x) = 2\cos x\sin x - \sin x = \sin x\,(2\cos x - 1)$ .

3. (2,5 pt) Sur $[0\,;\pi]$ , $\sin x \geq 0$ , et $2\cos x - 1 \geq 0 \iff x \leq \dfrac{\pi}{3}$ .

$x$	$0$		$\dfrac{\pi}{3}$		$\pi$
$f'(x)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f$	$1$	croissante	$\dfrac54$	décroissante	$-1$

En effet, $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac34 + \dfrac12 = \dfrac54$ .

4. (1,5 pt) $f(x) - 1 = 1 - \cos^2 x + \cos x - 1 = \cos x - \cos^2 x = \cos x\,(1 - \cos x)$ . Donc $f(x) = 1 \iff \cos x = 0$ ou $\cos x = 1$ . Sur $[-\pi\,;\pi]$ : $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac{\pi}{2}\,;0\,;\dfrac{\pi}{2}\right\}$ .

5. (1 pt) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \times (0 - 1) = -1$ . Tangente : $y = -\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1$ , soit $y = -x + \dfrac{\pi}{2} + 1$ .

6. (1 pt) Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{3}\right]$ , $f(x) \geq 1 > 0$ : pas de solution. Sur $\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\pi\right]$ , $f$ est continue et strictement décroissante, de $\dfrac54$ à $-1$ , et $0$ est compris entre ces valeurs : il y a une unique solution $\alpha$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires. La calculatrice donne $f(2{,}23) > 0 > f(2{,}24)$ , soit $\alpha \approx 2{,}24$ au centième (plus précisément, $\alpha \approx 2{,}237$ ).

Exercice 3

1. (1 pt) Quand $\theta$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\sin\theta$ tend vers $0$ par valeurs positives et $\cos\theta$ vers $1$ : $\lim\limits_{\theta\to0} L(\theta) = +\infty$ . De même, quand $\theta$ tend vers $\dfrac{\pi}{2}$ , $\cos\theta$ tend vers $0$ par valeurs positives : $\lim\limits_{\theta\to\pi/2} L(\theta) = +\infty$ .

2. (1,5 pt) $L'(\theta) = -\dfrac{1{,}2\cos\theta}{\sin^2\theta} + \dfrac{1{,}2\sin\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1{,}2\left(\sin^3\theta - \cos^3\theta\right)}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$ .

3. (1,5 pt) Le dénominateur est strictement positif. La fonction $t \mapsto t^3$ est strictement croissante, donc $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ a le signe de $\sin\theta - \cos\theta$ . Sur $\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ , $\sin\theta > \cos\theta \iff \theta > \dfrac{\pi}{4}$ .

$\theta$	$0$		$\dfrac{\pi}{4}$		$\dfrac{\pi}{2}$
$L'(\theta)$		$-$	$0$	$+$
$L$	$+\infty$	décroissante	$2{,}4\sqrt2$	croissante	$+\infty$

En effet, $L\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2 \times \dfrac{1{,}2}{\sqrt2/2} = 2{,}4\sqrt2$ .

4. (1 pt) Le minimum vaut $2{,}4\sqrt2 \approx 3{,}39$ m. Le tube de $3{,}20$ m passe, celui de $3{,}50$ m ne passe pas.